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Dada la circunferencia \(  C_1 \) de radio \(  R \), se trazan dos rectas \( L_1 \) y \( L_2 \) de modo que sean tangentes a esta circunferencia y paralelas.
Se dibuja una segunda circunferencia \( C_2  \) de radio \( r \) de modo que sea tangente a \( C_1 \) y a \( L_1 \).
Finalmente, se dibuja una tercera circunferencia \( C_3 \) de radio \( s \) de modo que sea tangente a \( C_1 \), \( C_2 \) y \( L_2 \).

Se pide una relación que cumplan \( R \), \( r \) y \( s \) y además se pide demostrar esta relación.

Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenida al foro.

 Observa el dibujo:



\(  DC=R-r \)
\(  BD^2=(R+r)^2-(R-r)^2=4Rr \)

 Análogamente \( AE^2=4Rs \)

 De ahí:

\(  BP=BD-AE=2(\sqrt{Rr}-\sqrt{Rs}) \)
\(  AP=(2R-r-s) \)

 Finalmente en el triángulo rectángulo \( BAP \):

\(  (r+s)^2=BP^2+AP^2 \)

\(  (r+s)^2=4(\sqrt{Rr}-\sqrt{Rs})^2+(2R-r-s)^2 \)

 Simplificando llegarás a:

\(  R=2\sqrt{rs} \)

Saludos.

[capitan_numerico]

Muchas gracias el_manco.
Saludos