[Raúl Aparicio Bustillo]

Una fórmula matemática infinita, tal como un sumatorio infinito, ¿se puede formalizar dentro de ZFC?

[Carlos Ivorra]

Una fórmula matemática infinita, tal como un sumatorio infinito, ¿se puede formalizar dentro de ZFC?

Cualquier cosa que puedas definir, la puedes definir en ZFC, y cualquier cosa que puedas demostrar, la puedes demostrar en ZFC. (Técnicamente habría que hacer alguna puntualización, pero nada relevante respecto a preguntas como la que formulas.)

[Raúl Aparicio Bustillo]

Pero , por ejemplo, podríamos introducir sumas de infinitos términos (lo que son las series) y sin embargo, hay series que convergen condicionalmente, y reordenando los términos, se puede conseguir que dé cualquier resultado. Eso, ¿cómo se interpreta?

[Carlos Ivorra]

Pero , por ejemplo, podríamos introducir sumas de infinitos términos (lo que son las series) y sin embargo, hay series que convergen condicionalmente, y reordenando los términos, se puede conseguir que dé cualquier resultado. Eso, ¿cómo se interpreta?

No entiendo la pregunta. Se interpreta como que el límite de una serie depende del orden de los sumandos, salvo que sea absolutamente convergente.

[Raúl Aparicio Bustillo]

Pues yo veo una contradicción, si la serie no es absolutamente convergente, ¿en qué paso se pierde la propiedad conmutativa? Porque no puede ser ni el primero, ni en el 2º, ni en ninguno con un número finito de orden. ¿En el paso\(  \omegaº \)?

[Luis Fuentes]

Hola

Pues yo veo una contradicción, si la serie no es absolutamente convergente, ¿en qué paso se pierde la propiedad conmutativa? Porque no puede ser ni el primero, ni en el 2º, ni en ninguno con un número finito de orden. ¿En el paso\(  \omegaº \)?

Estás interpretando una serie como si de hecho se estuviesen sumando infinitos términos. Aunque por decirlo de manera intuitiva es lo que se intenta "simular", formalmente no es lo que se hace.

El valor de una serie no es más que el límite de una sucesión: la sucesión de sumas parciales. En ese sentido ya hay que tener en la cabeza que para hablar de esa "suma infinita" tenemos que utilizar el concepto de límite.

Por otra parte si se cambian de orden los términos de la suma, se cambia la sucesión de sumas parciales. Entonces no tiene porque ser sorprendente que cambie su límite. No hay ninguna contradicción.

Saludos.

[Raúl Aparicio Bustillo]

Bueno, claro, al no haber un último paso, puede no ocurrir en ningún paso, pero hay que andarse con cuidado con las fórmulas infinitas, a la hora de extrapolar.

¿Cómo sabemos intuitivamente qué cosas que se infieren para el caso finito se mantienen en lo infinito? Esto está un poco relacionado con la escuela constructivista, ¿no?

[Carlos Ivorra]

Bueno, claro, al no haber un último paso, puede no ocurrir en ningún paso, pero hay que andarse con cuidado con las fórmulas infinitas.

Pero una suma infinita no es una fórmula infinita. Nada expresable en ZFC (incluyendo las sumas infinitas) es una fórmula infinita, porque ZFC no tiene fórmulas infinitas (otra cosa es que en ZFC se puedan definir lenguajes formales con fórmulas infinitas como se pueden definir espacios vectoriales de dimensión infinita, pero todas las fórmulas de ZFC son finitas).

Una fórmula como \( \sum\limits_{n=1}^\infty\frac1{2^n}=1 \) no tiene nada de infinito. Sólo usa un número finito de signos. Es una abreviatura de:

\( \forall \epsilon>0\exists k_0\in \mathbb N\forall k\geq k_0 \left|1-\sum\limits_{n=1}^k\frac1{2^n}\right|<\epsilon \), donde a su vez se podría insertar la definición recurrente de \( \sum_{n=1}^k \) y quedaría una fórmula más o menos larga, pero, desde luego, no infinita. Nunca verás una fórmula infinita en un libro de análisis matemático, aunque veas muchas sumas infinitas.

[Raúl Aparicio Bustillo]

Pero bueno, si más que nada lo que quería recalcar era que ( lo que por otra parte ya sabéis de sobra) el extrapolar cosas finitas a los casos infinitos. Supongo que ese era el temor de Hilbert cuando no aceptaba los teoremas de completitud. Una pregunta, ¿no hay alguna manera de desarrollar las matemáticas de manera finitista?

[Carlos Ivorra]

Pero bueno, si más que nada lo que quería recalcar era que ( lo que por otra parte ya sabéis de sobra) el extrapolar cosas finitas a los casos infinitos.

Había entendido mal la pregunta con que abriste el hilo (porque era ambigua, pero los mensajes siguientes me han aclarado lo que querías decir). Yo había entendido que preguntabas si es posible formalizar el concepto de fórmula infinita igual que se formaliza el concepto de sumatorio infinito, es decir, que dabas por hecho que los sumatorios infinitos se pueden formalizar en ZFC, pero preguntabas si lo mismo valía para las fórmulas infinitas.

Pero ahora veo que no, que en realidad estabas poniendo el sumatorio infinito como ejemplo de fórmula infinita y preguntabas si los sumatorios infinitos se pueden formalizar en ZFC. Entonces la respuesta era mucho más obvia: ¿tú ves sumatorios infinitos en los libros de matemáticas? Sí, pues entonces los sumatorios infinitos son formalizables en ZFC, porque todo lo que está escrito en cualquier libro de matemáticas serio es formalizable en ZFC. Sin excepción.

Supongo que ese era el temor de Hilbert cuando no aceptaba los teoremas de completitud.

No creo que tenga una relación directa. Nadie concibe el teorema de completitud como una extrapolación de cosas finitas a lo infinito.

Una pregunta, ¿no hay alguna manera de desarrollar las matemáticas de manera finitista?

Tendrás que explicar a qué te refieres.