Hola
Si es que de este tema desgraciadamente no entiendo nada. Por lo menos que me ayuden con uno para ver por donde va la cosa. 
No me gusta aun así la forma de preguntar; los "no entiendo nada" no sirven para nada. Deberías de molestarte al menos en escribir: "En el apartado (a) cuando me pide que ecuentre la relación \( S \) no sé a que se refiere; he ido y a mis apuntes y he leido que una relación es bla..bla..bla.. pero aun así no lo entiendo.".Aun así trataré de darte un empujoncito; en primer lugar he corregido tu mensaje escrbiendo las fórmulas en LaTeX y eliminado todos los enunciados excepto del del primer ejercicio.
Sea los conjuntos \( A=\{1,2,3,4,5\} \) y \( B=\{b,c,d\} \) y las relaciones \( R=\{(b,1), (c,1), (d,2), (d,3), (c,4), (c,3)\} \) de \( B \) en \( A \); y \( S=\{(i,j)|i + j\textsf{ es un n\'umero impar }\forall i,j\in A\} \) de \( A \) en \( A \)
Encuentre lo siguiente:
a. La relación \( S \)
Una relación en \( A \) es un conjunto de pares ordenados de elementos de \( A \), En tu caso te dicen que \( S \) está formado por aquellos pares \( (i,j) \) de números del conjunto \( A \), tales que su suma es impar. Por ejemplo el par \( (1,2) \) está en \( S \) porque \( 1+2=3 \) impar; pero el par \( (1,1) \) no está en \( S \) porque \( 1+1=2 \) es par.
Ahora no deberías de tener problema en escribir el listado de pares que pertenecen a \( S \).
b. El dominio y el rango de \( R \) y \( S \)
El dominio está formado por el conjunto de "primeros elementos" de cada par del conjunto y el rango por el conjunto de "segundos elementos" de cada par.
Así dado que: \( R=\{(b,1), (c,1), (d,2), (d,3), (c,4), (c,3)\} \) se tiene que \( dominio(R)=\{b,c,d\} \) y \( rango(R)=\{1,2,3,4\} \). Haz lo mismo para \( S \).
c. La matriz de la relación inversa de \( R \)
La relación inversa de \( R \) es la que se obtiene invirtiendo el orden de los elementos de cada par, es decir:
\( R^{-1}=\{(1,b), (1,c), (2,d), (3,d), (4,c), (3,c)\} \)
La matriz asociada a una relación es una matriz con tantas filas como el conjunto de partida y tantas columnas como el de llegada. Se coloca un uno en aquellas posiciones fila \( i \) columna \( j \) tales que el par con el elemento \( i \) del conjunto inicial y el elemento \( j \) del final esté en la relación. Aquí tienes ejemplos de como se construye:
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Relaciones/relaciones/node4.htmld. Encuentre la composición de las relaciones \( R\circ S \) utilizando el conjunto de los pares ordenados
El par \( (x,y) \) pertenece a la relación compuesta \( R\circ S \) si existe un \( z\in A \) tal que \( (x,z)\in R \) y \( (z,y)\in S \). Con esto intenta escribir los pares de tal composición.
e. Dada la relación \( R_1=\{(b,b), (b,c), (c,b), (c,c), (b,d), (d,b), (d,d) } \) de \( B \) en \( B \) ¿Qué propiedades debe cumplir \( R_1 \) para que sea de equivalencia?. ¿Es \( R_1 \) una relación de equivalencia?.
Revisa en tu libro y/o apuntes cual es la definición de relación de equivalencia.
Saludos.
