Hola
Bienvenido al foro.
¿Cómo graficar y calcular el lado de un heptágono regular?
¿A qué te refieres con graficarlo? ¿Bajo qué condiciones? No se puede construir con regla y compás un heptágono regular inscrito en una circunferencia dada. Si pueden hacerse trazados aproximados. Aquí tienes uno:
http://gaussianos.com/construir-un-heptagono-regular-con-regla-y-compas/En cuanto a calcular el dado. En general, por el teorema del coseno el lado de un polígono regular de \( n \)-lados inscrito en una circunferencia de radio \( r \) viene dado por:
\( L=r\sqrt{(2-2cos(2\pi/n))} \)
¿Por qué los vértices del heptágono están dados por la ecuación \( z^7-1=0 \) ?
No sé muy bien que sabes sobre número complejos. Todo número complejo \( z \) puede expresarse como:
\( z=x+iy=|z|(cos(\theta)+i sin(\theta)i) \)
Siendo \( |z| \) su módulo y \( \theta \) su argumento. En particular si tiene módulo \( 1 \) (geométricamente su afijo está sobre la circunferencia de radio uno), es de la forma:
\( z=cos(\theta)+i\, sin(\theta) \)
Ahora se cumple que:
\( z^n=cos(n\theta)+i\, sin(n\theta) \)
De ahí se deduce que las raíces de \( z^n-1=0 \) son los complejos de la forma:
\( cos(k(2\pi/n)+i\, sin(k(2\pi/n)) \) para \( k=0,1,2,\ldots,n-1 \)
Que son los vértices de un \( n \)-ágono regular inscrito en la circunferencia unidad.
Saludos.
