[paduana]

Hola,

¿Podriais ayudarme en este caso?

Dado el modelo de regresión \( \vec{y}=X\overrightarrow{\beta}+\vec{\epsilon} \), donde \( X_{(n,p+1)} \) representa la matriz de datos asociado a las variables independientes e \( \vec{y} \) el vector de observaciones de la variable dependiente.
 Tengo que estudiar que ocurre con las estimaciones de los parámetros cuando se hace un cambio de escala en las variables independientes, es decir, \( w_{ij}=c_jx_{ij};\ j=1,...,p+1. \).
1-Compara las estimaciones de los parámetros de los modelos:
\( \vec{y}=X\overrightarrow{\beta}+\vec{\epsilon} \) y \( \vec{y}=W\overrightarrow{\beta}*+\vec{\epsilon} \)
2-¿Qué ocurre con las predicciones?

¿Al multiplicar ese \( c_j \), estoy multiplicando por una constante cada variable? ¿las predicciones serán proporcionales?

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 ¿Has aplicado las fórmulas?

 Observa que el cambio de escala corresponde a multiplicar la matriz de datos \( X \) por la derecha por una matriz diagonal \( C \), con \( c_{jj}=c_j. \)

 Entonces si:

\(  \beta=(X^tX)^{-1}X^ty \)

 se tiene que:
 
\(  \beta^*=((XC)^t(XC))^{-1}(XC)^ty \)

 Simplifica la segunda expresión y compara con la primera.

Saludos.

[paduana]

\(  \beta^*=((XC)^t(XC))^{-1}(XC)^ty=(C^tX^tXC)^{-1}C^tX^ty=C^{-1}(X^tX^)^{-1}(C^t)^{-1}C^tX^ty=C^{-1}(X^tX^)^{-1}X^ty=C^{-1}*\beta \)

Por lo tanto, \( \forall{i}\in{\{0,...p\}},\ \beta_i^*=\frac{1}{c_{i+1}}\beta_i \)

Entonces las predicciones no se alterán, ¿verdad?

En el primer modelo:

\( y_1= \beta _0 +\beta_1 x_{11}+...+ \beta_p x_{1p} \)

y en el segundo:

\( y_1=\beta_0^*c_1+\beta_1^* x_{11}c_2+...+\beta_p^*x_{1p}c_{p+1}=\frac{1}{c_1}\beta_0c_1+\frac{1}{c_2}\beta_1 x_{11}c_2+...+\frac{1}{c_{p+1}}\beta_px_{1p}c_{p+1}=\beta_0+\beta_1 x_{11}+...+\beta_px_{1p} \)

Gracias!