[paduana]

Hola!
Tengo una duda básica pero no consigo ver la demostración de una afirmación. ¿Podríais ayudarme por favor?
Dado el modelo de regresión \( \vec{y}=X\overrightarrow{\beta}+\vec{\epsilon} \), donde \( X_{(n,p+1)} \) representa la matriz de datos asociado a las variables independientes e \( \vec{y} \) el vector de observaciones de la variable dependiente.
Sean \( P_X=X(X'X)^{-1}X' \) y \( J=\vec{1}\vec{1}' \)
Quiero entender porque puedo decir que \( B=P_X-1/nJ \) es idempotente.
He visto que \( B \) es simétrica y que \( P_X \) es idempotente, pero para ver que \( B \) es idempotente..

\( B^2=(P_X-1/nJ)(P_X-1/nJ)=P_X^2-P_X1/nJ+1/nJP_X+(1/nJ)^2=P_X-1/nJ(2P_X+1/nJ).. \)

Gracias!!

[Luis Fuentes]

Hola

 Ten cuidado: \( P_X \) y \( J \) en principio no conmutan. Además es fácil ver que \( J^2=nJ \). Teniendo en cuenta todo esto:

\(  B^2=P_X^2-\dfrac{1}{n}(P_XJ+JP_X-J) \)

 Entonces habría que probar que:

\(  P_XJ+JP_X=2J \)

 Pero no me cuadra. Si fuese cierto tendría que cumplirse que:

\(  P_XJX+JP_XX=2JX \)

 He probado con:

\(  X=\begin{pmatrix}{1}&{6}\\{3}&{0}\\{8}&{3}\end{pmatrix} \)

 y no da. ¿Me equivoco en algo?.

Saludos.

[paduana]

Gracias,
he visto mi error.

He probado con la X de tu ejemplo, y obtengo que

\( P_X=\frac{1}{2340}\begin{bmatrix}{2349}&{-405}&{162}\\{-405}&{405}&{810}\\{162}&{810}&{2106}\end{bmatrix} \)

que efectivamente es idempotente y simétrica.

\( B=P_X-\frac{1}{3}\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{bmatrix}=\frac{1}{2430}\begin{bmatrix}{1539}&{1215}&{-648}\\{1215}&{-405}&{0}\\{-648}&{0}&{1296}\end{bmatrix} \)

y en ese caso, creo qu tienes razón y B no es idempotente..que extraño 

gracias!

[paduana]

Mmm.. la primera columna de la matriz X no tendría que ser toda de unos? si X no es \( X=(1,X_1,X_2,...,X_p) \) no no conseguiríamos que \( y=X\beta+\epsilon=\beta0+\beta_1X_1+...\beta_pX_p+\epsilon \),no?
puede ser que por eso no se cumpla?

[paduana]

Ya lo he entendido,

Px es la matriz de proyección de X, por lo que PxJ=J, y como Px y J son simétricas, usando las propiedades también se cumple que JPx=J

Gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

Ya lo he entendido,

Px es la matriz de proyección de X, por lo que PxJ=J, y como Px y J son simétricas, usando las propiedades también se cumple que JPx=J

Gracias!

Si. Ahora si. Pero por supuesto es clave que la primera columna de \( X \) sea de unos. Es lo que no estaba teniendo en cuenta.

Saludos.