[Clau-dio]

Calcular la serie de Fourier exponencial de la función que es igual en el intervalo \( (-\pi ,\pi ) \) a \( e^x \). Utilizando este resultado calcular la suma de la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{1+n^2}} \)

Hallemos la serie de Fourier exponencial para\(  f(x)=e^x \) en \( (-\pi ,\pi ) \) entonces tenemos que los coeficientes son

\( c_n=\displaystyle\frac{1}{2\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi} (e^x*e^\left\{xin)\right\}dx) \)
\( =\displaystyle\frac{1}{2\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi } (e^\left\{(x-inx)\right\}dx \)
\( =\displaystyle\frac{1}{2\pi*(1-in)} (e^\left\{(\pi(1-in))\right\} -e^\left\{(-\pi(1-in))\right\}) \)
\( =\displaystyle\frac{1}{2\pi*(1-in)}*(e^\pi-e^{-\pi} ) * cos(n\pi) \)
\( =\displaystyle\frac{(1+in)}{2\pi*(1+n^2 ) } (e^\pi-e^{-\pi }) (-1)^n \)
Luego \( f(x)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty{\displaystyle\frac{(1+in)}{2\pi(1+n^2 )}(e^\pi-e^{-\pi}) (-1)^n e^\left\{(xin))\right\}} \)
Esta equivalencia es válida en todos los puntos de continuidad de f, en particular en el 0. Si evaluamos ahora la serie en 0, debe dar lo mismo que f(0) o sea f(0)=e^0=1. Por otro lado e^xin en 0 vale 1. De allí tenemos \( f(0)=1=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty{\displaystyle\frac{(1+in)}{2\pi(1+n^2 )}(e^\pi-e^{-\pi}) (-1)^n  \)
Observemos que los términos en in con n>0 se anulan con los n<0 de modo que \( 1=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty{\displaystyle\frac{(1)}{2\pi(1+n^2 )}(e^\pi-e^{-\pi}) (-1)^n  \) luego tenemos que\(  2\pi/(e^\pi-e^{-\pi})=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty{\displaystyle\frac{((-1)^n)}{(1+n^2 )} \) . Así
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{((-1)^n)}{(1+n^2 )}=\displaystyle\frac{-1}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{e^\left\{\pi \right\}-e^\left\{-\pi\right\}} \)

Como puedo seguir para obtener \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{1+n^2}} \)?

Gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

 ¿Has probado a evaluar en \( \pi \) y usar el Teorema de Dini.?

Saludos.

[Clau-dio]

Hola

Al evaluar en \( \pi \) obtengo lo siguiente
\( e^\pi=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^n }{2\pi(1+n^2 )}(e^\pi-e^-\pi) e^\left\{in\pi\right\}} \)
\( \displaystyle\frac{2\pi*e^\pi}{(e^\pi-e^-\pi)} =\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^n }{(1+n^2 )}cos(n\pi) \)
\( \displaystyle\frac{\pi*e^\pi}{(e^\pi-e^-\pi)}-1/2 =\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1 }{(1+n^2 )} \)
Y cómo aplico el teorema?la serie que halle es en \( (-\pi ,\pi ) \) si tomo el extremo del intervalo no genera un inconveniente?

[Luis Fuentes]

Hola

 Tu puedes considera la función \( e^x \) períodica en \( R \) de período \( 2\pi \), extendiendo su definición en \( (-\pi,\pi) \) y con discontinuidad en los puntos \( x=2k\pi \).

 Si llamas \( f(x) \) a esa extensión lo que te asegura el Teorema de Dini es que el valor de la serie en \( \pi \) será:

\(  \dfrac{f(\pi^+)+f(\pi^-)}{2}=\dfrac{e^{-\pi}+e^{\pi}}{2} \)

 Por tanto en tus cálculos:

\( \color{red}e^\pi\color{black} =\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^n }{2\pi(1+n^2 )}(e^\pi-e^-\pi) e^\left\{in\pi\right\}} \)
\( \displaystyle\frac{2\pi*\color{red}e^\pi\color{black}}{(e^\pi-e^{-\pi})} =\displaystyle\sum_{n=-\infty}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^n }{(1+n^2 )}cos(n\pi) \)
\( \displaystyle\frac{\pi*\color{red}e^\pi\color{black}}{(e^\pi-e^{-\pi})}-1/2 =\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1 }{(1+n^2 )} \)
Y cómo aplico el teorema?la serie que halle es en \( (-\pi ,\pi ) \) si tomo el extremo del intervalo no genera un inconveniente?

lo que he marcado en rojo debes de sustituirlo por \( (e^{\pi}+e^{-\pi})/2 \). Obtendrás:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1 }{(1+n^2 )}=\displaystyle\frac{\pi*(e^{\pi}+e^{-\pi})}{2(e^\pi-e^{-\pi})}-1/2  \)

Saludos.

P.D. Unas notas al respecto:

http://personal.us.es/glopez/docencia/Tema%203.pdf