[Rodolfo Merino R.]

Supongamos que a, b y c son números enteros, que son una terna pitagórica, es decir satisfacen:    a^2 + b^2 = c^2,    con  c>a  y  c>b
Si multiplicamos esa expresión por “c” tenemos:    c.a^2 + c.b^2 = c^3
Si en esa expresión remplazamos la primera c por a y la segunda c por b tendriamos:
  a^3 + b^3 < c^3
Esto lo podemos repetir y tendriamos    a^4 + b^4 < c^4, y asi sucesivamente, tendriamos:   a^n + b^n < c^n,  para n>2.
Es decir una terna pitagórica, cumple  a^n + b^n < c^n, para n entero y  n>2.
Simple e interesante.
Saludos cordiales.   
                             Rodolfo.

[Ruben Rosas]

 La propuesta mía que rersolver  X^3 + Y^3 = Z^3 es equivalente a demostrar que no existe un triángulo rectángulo
 de lados X(X)^1/2, Y(Y)^1/2, Z(Z)^1/2, parece ser tan difícil,
 efectivamente que demostrar la primera igualdad.Lo inicié varias veces en el foro, pero siempre llagaba a un círculo vicioso.
 Raíz cuadrada de tres se puede expresar fácilmente en forma
 geométrica,lo mismo raíz cuadada de cinco.Tres por raíz cuadrada de tres se podrá expresar tambíen fácilmente transportando sobre una semirrecta tres veces la raíz cuadrada de tres,lo cual puede ser llevado sobre un cateto de un triángulo rectángulo, es decir el valor 5,19.. Sobre el otro cateto, igualmente llevar  Y(Y)^1/2. La cuestión será probar que con éstos valores o cualquiera otros de la misma forma, no se obtendrá en la hipotenusa otro valor de ésa forma.
 En cuanto a que dada la terna pitagórica a^2+b^2=c^2, es inmediato que a^3+b^3 es menor que c^3. La cuestión es que
 si a es un número impar (todos los impares figuran en las ternas pitagóricas) si existieran ternas para los cubos los b,c, serán distintos de los b,c de la terna pitagórica.
 Como decía antes,Fermat podría haber razonado de la siguiente
 forma:
 1) Las ternas se producen por aplicación de una cierta propiedad
 2) La propiedad es aplicable a todo el universo de números nat.en dónde ella es aplicable
 3) Ninguna terna pit.existe sin aolicación de ésta propiedad
 4) No existe propiedad equivalente para imaginar ternas con
 exponentes por ejemplo impares.
 5) Por lo tanto no existen ternas con ésos exponentes impares.

 Nota: se sabe que el UTF queda demostrado si se lo hace para
 exponentes primos impares.  

[LeonB]

Si no mal recuerdo, el último teorema de Fermat quedó totalmente desmostrado en 1994 por Adrew Wiles... o mal interprete aquella noticia?

[Rodolfo Merino R.]

En referencia al UTF,  X^n + Y^n = Z^n,    con  Z>X>Y    y  n>2.
No es difícil demostrar que el número  (X+Y-Z), debe ser múltiplo de todos los divisores primos de  (Z-X), de (Z-Y) y de  (X+Y).
Entonces, si se logra demostrar que no existe una terma X, Y y Z, que satisfaga la anterior afirmación, se demuestra el UTF. Personalmente lo he intentado de muchas formas, incluso he probado numéricamente con muchas de ternas y nunca encontré una que lo cumpla, siempre hay un primo que “se escapa”. Además Y debe ser múltiplo de todos los primos de (Z-X), X debe ser múltiplo de todos los primos de (Z-Y) y Z debe ser múltiplo de todos los primos de (X+Y).  Por ejm, (numéricamente):
Y=10,608,262=2x7x31x24,443,  X=11,240,519=17x41x16,127,   
Z=18,867,015=3^2x5x23x18,229,   
(Z-X)=7,626,496=2^8x31^3,   (Z-Y)=8,258,753=17^3x41^2,   
(X+Y)=21,848,781=3x23x316,649,   (X+Y-Z)=2,981,766=2x3x17x23x31x41
El número (X+Y-Z) contiene todos los div. primos de (Z-X), 2 y 31, todos los div. primos de (Z-Y), 17 y 41 y debería contener todos los de (X+Y), tiene al 3 y el 23 pero no tiene el 316,649 (este se “escapa”). Además Y es múltiplo de los div. primos de (Z-X), X es múltiplo de los div. primos de (Z-Y) y Z debería ser múltiplo de los div. primos de (X+Y) pero solo lo es de 3 y 23, el 316,649 se “escapa”.
El ejm numérico planteado lo hice de la forma siguiente, primero definí (Z-X) y luego (Z-Y). Después definí (X+Y-Z), de forma que contenga todos los div. primos de los 2 números anteriores, pero antes sume:  (Z-X) + (Z-Y) = 2Z – (X+Y), pues este número contiene todos los div. primos de (X+Y). Supuestamente se podía definir (X+Y-Z) de forma que cumpla las condiciones planteadas, pero siempre un primo se escapa.
(X+Y-Z) tambien debe ser múltiplo de 2, de 3 y de “n”.
Definiendo como “dato” las 3 variables, (Z-X), (Z-Y) y (X+Y-Z), se encontrarían las 3 “incógnitas” X, Y y Z. Se podrían hacer otras variantes, definiendo (X+Y) y haciendolo en diferente orden.
Saludos cordiales.
           Rodolfo.

[Ruben Rosas]

 Sobre el UTF, se sabe que fué demostrado por Wiles,pero en el
 foro desde hace tiempo he manifestado que si Fermat lo 
 demostró, no ha sido por el método de Wiles,por la anécdota
 sobre la inmeditez de su percepción,debe ser por algo muy 
 simple,por ejemplo por lo que manifesté en mi último mensaje.
 Por otra parte que un cubo menos un cuadrado es igual k ( en
 números naturales yo lo demostré con total generalidad hace
 siete años,sólo espero la que alguien me dé la oportunidad de
 poder publicarlo con los recaudos necesarios.Éste problema
 originado también en Fermat ha dado orígen a lo que llaman
 "problemas de curvas elípticas", y desde mi punto de vista
 erróneamente ligado con el UTF en lo que habría "demostrado"
 Fermat. Hay que tener en cuenta lo que sucedió con el problema
 de los cuatro colores,en el que (alrededor de 1870 me parece)
 le adjudicaron la solución a un matemático al cual cubrieron de
 honores, pero años después se dieron cuenta que la solución,en
 realidad no lo era.¿No puede haber pasado lo mismo con Wiles?
 De cualquier forma habría que intentar buscar una solución 
 simple. Si se consigue, bien, si no mala suerte.
 En cuanto a que X+Y-Z debe ser múltiplo de X+y,Z-X,Z-Y, creo
 lo expliqué hace mucho tiempo.Pero el problema del UTF, está
 dividido en que X.Y.Z sea múltiplo del exponente primo p, o
 que no lo sea.Si no lo es mi conclusión es que X+Y, Z-X, Z-Y,
 deben ser potencias p-ésimas, por lo que X+Y-Z es un número
  grande, además aplicando el PTF para un exponente p muy
 elevado debe ser X+Y = Z+u con u múltiplo de una cantidad
 xyz factores de X,Y, Z
 Aclaración: el problema de la cantidad de soluciones
 para un número natural k = X^3 - Y^2, pretendo haberlo "demostrado", y así lo creeré hasta que no se demuestre lo contrario.

[Rodolfo Merino R.]

Estimado Ruben Rosas:
Conozco y se de todo lo que indicas en tu última respuesta. A propósito, en el año 2003 (cuando estuve convencido, por mas de 6 meses, de haber conseguido una demostración elemental del UTF), tuve frecuente comunicación via e-mail, con una compatriota (matemática) tuya y un español. Ella hizo su tesis sobre el UTF, la tengo, buena la tesis (Univ. Catolica de Salta, Sub sede Buenos Aires, dpto. de matemáticas). Ahí ella explica, primero algo de historia al respecto, luego analiza las ternas pitagóricas, el método del descenso infinito, la demostración de Pierre de Fermat para el caso n=4, la de L. Euler del caso n=3, el increíble aporte de Sophie Germaín (alias Monsieur Le Blanc, ella tuvo que explicarle la verdad a Lagrange) subdividiendo el UTF en el caso I y II (X,Y y Z coprimos con “n” o no), la subdivisión del caso II y la demostración de Legendre y Dirichelet del caso n=5 (que lo hicieron simultáneamente y por separado, año 1828), el caso n=7, probado por Gabriel Lamé, luego la teoría de Kummer y sus objetos “ideales” que dio origen a la teoría algebraica de los números, refiriendose a los primos “regulares” (estos dividirían los numeradores de los números de Bernoulli) y los cuerpos ciclotómicos, los estudios de Gauss y su “Ley de reciprocidad cuadrática”. Los métodos p-ádicos, Explica sobre el trabajo de Bernard Riemann, y su famosa función ZETA y su conjetura todavía no demostrada, Luego habla sobre los trabajos mas recientes, Gerd Faltings resolviendo la conjetura de Mordell, que prácticamente fue el punto de partida de A. J. Wiles, las ecuaciones elipticas y las formas modulares, descritas por Taniyama y Shimura, lo aportado por Gerhard Frey y Ken Ribet. Finalmente esquematiza la demostración de Andrew J. Wiles, pues como seguramente sabes su demostración es bastante extensa y compleja. El tema es definitivamente apasionante.
Algo que no explicas claramente en tu ultima respuesta, es lo referente a la diferencia de un cubo menos un cuadrado, te refieres a la cantidad de soluciones?
Me gustaria conocerla, mi correo es rmr45472@yahoo.es.
Como sabemos, normalmente un teorema tiene mas de una forma de demostrarse, Evidentemente, la comunidad cientifica matematica, espera una demostración del UTF menos compleja que la qe hizo A.J. Wiles (el hizo mas 100 paginas y tuvo que "inventar" algo nuevo en matemáticas, las formas modulaes elipticas)
Personalmente, estoy convencido que Fermat, hizo una demostración de su teorema, pero que estuvo erronea (para Topo23 y LeonB).
Saludos cordiales.
    Rodolfo.

[Ruben Rosas]

 Estimado Rodolfo Merino,muchas de las cosas que explicas 
 desde el punto de vista histórico yo las sé,pero algunas no,
  como el caso de que Sofhie Germain fué la que explicó a 
 Lagrange de dividir el UTF en los dos casos mencionados.Todo
 ésto es apasionante como vos decís,mejor que leer una novela
  policial.Si no lo conocés,te recomiendo el libro "Historoa de las
 matemáticas de... Bell en traducción castellana.En éste
  momento no lo tengo,pero es extraordinario,por su lenguaje 
 accesible. Fermat dijo la ecuación X^3 - Y^2 = 2 tiene una sola solución que es X=3, Y= 5,  X^3 - Y^2 = 4 tiene sólo dos
 soluciones, etc. Si en vez de 2, 4, indicamos k= número natural,
 entonces el número de soluciones ( a veces no la hay) es el
 pedido de solución de la ecuación.Yo lo resolví hace siete años
 en su forma general, y lo que me convenció de que estaba en lo cierto es que se dben dar ciertos resultados los cuales sistemáticamente ocurrían, es decir ésto me indicó que el método era correcto.La solución es muy simple, y supongo que en el futuro se podrá enseñar en la escuela secundaria. La ecuación que escribí tiene dos términos en X,Y,p ero la extendieron para más términos,sirndo de grado tres para X, y dos para Y. Le llaman ecuaciones de curvas elípticas, y Wiles la
 utilizó para resolver el UTF.
 Te pido que medites lo que dije de considerar una propiedad
 especial de los cuadrados para obtener la idea que no pueden
 existir ternas en exponentes impares en especial. Se me ocurre
 que por ahí estaría la percepción inmediata de Fermat en el
 llamado UTF.
 En el caso de XYZ no múltiplos del exponente, debía decir
 X+Y-Z = u , si X+Y = z^p, Z-Y = x^p, Z - X = y^p, entonces
 u es múltiplo de xyz.Si X,Y, Z, son múltiplos del exponente la situación es similar,aunque x+y, o bien Z-X, obien Z-Y no serán
potencias p-simas.
 El u de las terna pitagóricas tiene propiedades interesantes,son
 progresiones aritméticas.En el caso de las ternas pitagóricas
 originales (la diferencia entre el valor de la hipotenusa y el cateto mayor vale la unidad,referenciándo las ternas a los triángulos rectángulos) y valen 2, 4, 6, 8, 10, 14, ...
 Si la diferencia es dos entre la hipotenusa y el cateto mayor, que es producto de dos impares consecutivos,u, vale,6,10,14,...
 E T C.

[Ruben Rosas]

 Mira Rodolfo merino, te envié mensajes  a tu e-meil pero 
 parece que no te han llegado. Efectivamente la diferencia
 entre un cubo y un caudrado de números naturales (algunos
 la ponen al revés a ésta diferencia) igual a un número natural,
 se refería Fermat a la cantidad de soluciones,aunque en la mayoría de los casos no existan. Es interesante el tema que
 eligió mi compatriota salteña para hacer su tesis,felicitala de
 mi parte.En cuanto a la cuestión de las ecuaciones elípticas yo
 no sé prácticamente nada en lo que se ha avanzado en ellas.Tomé la cuestión como ésa diferencia simple y nada más.A lo mejor se pueda realizar una conexión con el UTF, pero, a pesar
 que ambos casos corresponden a problemas planteados por Fermat, no creo que él los hubiera unido.Saludos.

[Rodolfo Merino R.]

Ruben Rosas:
Te envie un mensaje a tu correo rubenricardorosas@hotmail.com.
Continuas usando ese e-mail?
La matematica argentina que hizo su tesis respecto al tema, se llama Yolanda Judith Poletti.
Saludos.
                Rodolfo.

[Ruben Rosas]

 
 Mira Rodolfo,sigo usando ése e-mail.y también te envié una 
 respuesta.Me gustaría poner en el foro el tema sobre la
 conjetura de Catalán,pues me parece que tengo algunos
 resultados, pero no me responde el foro para sugerir temas.
 a lo mejor lo podés ubicar a ése tema en el foro.Saludos