[HugoGB]

Hola me gustaría saber si me puede alguien echar una mano con la siguiente demostración que no consigo probar:

Sea \( X_{1},...,X_{n}\sim\mathrm{Exp}(\beta) \). Encontrar la función generadora de momentos de \( X_i \) y probar que \( \sum_{i=1}^{n}X_{i}\sim\mathrm{Gamma}(n,\beta) \)

Muchas gracias...

[Luis Fuentes]

Hola

 La densidad de una exponencial de parámetro \( \beta \) es:

\(  f(x)=\begin{Bmatrix} \beta e^{-\beta x} & \mbox{ si }& x\geq 0\\0 & \mbox{si}& x<0\end{matrix} \)

 Su función generadora de momentos es:

\(  M_{X_i}(t)=E[e^{tX}]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f(x)dx=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\beta e^{(t-\beta )x}dx=\ldots=\dfrac{\beta}{\beta-t} \)

 para \( t<\beta \) (en otro caso la integral no converge).

 Por las propiedades de la función generadora de momentos, si \( X=X_1+\ldots+X_n \) entonces:

\(  M_{X}(t)=M_{X_1}(t)\cdot \ldots\cdot M_{X_n}(t)=\left(\dfrac{\beta}{\beta-t}\right)^n \)

 Ahora compara con la función generadora de momentos de \( Gamma(n,\beta) \).

Saludos.

[HugoGB]

Si claro si llego a que la función generadora de momentos de Gamma\( (n,\beta) \) es:

\( M_{X}(t)=\dfrac{1}{(1-\beta t)^{n}} \)

Pero esas dos funciones unicamente son iguales si \( \beta=1 \).

Y no se como relacionar esas dos cosas. ¿Por qué \( \beta=1 \) para que se cumplan el enunciado?

Disculpa la torpeza

[Luis Fuentes]

Hola

Si claro si llego a que la función generadora de momentos de Gamma\( (n,\beta) \) es:

\( M_{X}(t)=\dfrac{1}{(1-\beta t)^{n}} \)

Pero esas dos funciones unicamente son iguales si \( \beta=1 \).

Y no se como relacionar esas dos cosas. ¿Por qué \( \beta=1 \) para que se cumplan el enunciado?

Disculpa la torpeza

Es simplemente un problema de notación. Hay dos formas de denotar la función Gamma:

- Dando lo que suelen llamarse los parámetros de forma \( n \) y de escala \( \theta \).

- Dando los parámetros de forma y de ratio \( \beta=1/\theta \) (que es la inversa del anterior).

Lo análogo ocurre con la exponencial.

Yo he usado en ambos casos el parámetro ratio. Esto supone que trabajo con exponenciales de función de densidad:

\(  f(x)=\begin{Bmatrix} \beta e^{-\beta x} & \mbox{ si }& x\geq 0\\0 & \mbox{si}& x<0\end{matrix} \)

y con Gammas con función de densidad:

\( f(x)=\dfrac{\beta^n}{\Gamma(n)}x^{n-1}e^{-\beta x} \), \( x\geq 0 \)

Con esa notación la función generadora de momentos de la gamma sería:

\( M_{X}(t)=\dfrac{1}{(1-(1/\beta) t)^{n}}=\left(\dfrac{\beta}{\beta-t}\right)^n \)

Saludos.

P.D. Estos enlaces te pueden ayudar a entender la doble notación a la que me refiero:

http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

http://en.wikipedia.org/wiki/Rate_parameter#Rate_parameter