[mapa]

¡Hola!
Les agradecería si me ayudaran a plantear alguna ecuación para resolver el siguiente ejercicio:

Un pez mantiene su profundidad en el agua de mar ajustando el contenido gaseoso del hueso poroso o de las bolsas de aire para igualar su densidad promedio a la del agua. Suponga que colapsadas las bolsas de aire, tenga una densidad de1.08g/cm^3. ¿A qué fracción de su volumen corporal expandido deberá inflar las bolsas para reducir su densidad promedio a la del agua? Suponga que la densidad del aire es 0.00121g/cm^3.

[Luis Fuentes]

Hola

 Si V es su volumen en centímetros cúbicos, entonces su masa es 1.08V.

 Si aumenta una fracción x de su volumen V con aire entonces su nueva masa será 1.08V+0.00121Vx.

 Esta nueva masa debe de coincidir con su volumen nuevo total por la densidad del agua (que es uno) es decir con V+Vx.

Saludos.

[mapa]

¡Muchas gracias! 

[robinlambada]

Creo que la interpretación de el_manco no es correcta, pues sus ecuaciones son referidas al volumen inicial , y la fracción inflada respecto al volumen inicial.
 

¿A qué fracción de su volumen corporal expandido deberá inflar las bolsas para reducir su densidad promedio a la del agua? Suponga que la densidad del aire es 0.00121g/cm^3.

Cuando dice volumen expandido, yo entiendo el volumen final, pues al disminuir su densidad , aumenta su volumen al final expandiéndose. ( aunque lo importante del problema no es este matiz, si no ver las relaciones que muy bien ha encontrado el_manco

En este caso: yo llamo V =volumen final, Vo=volumen inicial, Mo masa inicial, M=masa final , x=Volumen inflado/V

como la densidad final es 1, entonces M=V (*) ( en gramos)

y M= Mo+ 0'00121xV = 1'08Vo + 0'00121xV  (**)

Por último relaciono los volúmenes inicial más inflado es el volumen final:
Vo + xV=V (***)

poniendo Vo en función de V

1'08[V(1-x)]+0'00121xV =V

queda: x=0'08/1'07879

Con x la fracción del volumen final (expandido) que se ha tenido que inflar el pez.
Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Creo que la interpretación de el_manco no es correcta, pues sus ecuaciones son referidas al volumen inicial , y la fracción inflada respecto al volumen inicial.

No es que mi interpretación no sea correcta. Lo que si es cierto es que la \( x \) que yo hallo no responde directamente a lo que pregunta el problema. De mi plantemiento \( x \) es la proporción de aumento respecto al volumen inicial. Si lo que queremos (como pide el enunciado) es la proporción de aumento respecto al volumen final, ésta sería:

\( y=\dfrac{Vx}{V(1+x)}=\dfrac{x}{1+x} \)

Saludos.

[Taxhi]

Hola que tal muy buenos días a todos ...

Me gustaría saber cómo es que resolvieron y que método usaron...

Me causa un poco de duda y dificultad entender cómo lo hicieron.

[robinlambada]

Hola Taxhi, bienvenido al foro.

Hola que tal muy buenos días a todos ...

Me gustaría saber cómo es que resolvieron y que método usaron...

Me causa un poco de duda y dificultad entender cómo lo hicieron.

Realmente no use un método concreto. Solo advertí que se trata de un problema de proporcinaildad ( ya que te pide la fracción del volumen final que debe expandir las bolsas para mantener la densidad promedio igual a la del agua que es \( 1 gr/cm^3 \).
Planteo que la masa final es la masa inicial más la fración de masa aumentada ( que es la masa del aire con que infla las bolsas).

\( M= Mo+ 0'00121xV = 1'08Vo + 0'00121xV  (**) \) con \( 0'00121xV  \) la masa de aire que ha inflado \( m=\rho\cdot{}V \) ( la masa es la densidad por el volumen) y el volumen que ha inflado es: \( V_{infla}=xV
 \) , pues te dice que la fracción de aire inflado  es \( x \), es decir \( x=\displaystyle\frac{V_{infla}}{V} \)

Luego utilizo que el volumen final es el inicial mas el volumen inflado.

\( V=V_o +V_{infla}=V_o+xV \)

Por último Como \( M=V \)

\( V=1'08Vo + 0'00121xV  \)   y

\( V=V_o+xV \)

Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

Sea la densidad inicial \( \rho_0=\dfrac{m_0}{V_0} \), y la densidad final \( \rho_1=\dfrac{m_1}{V_1}=\dfrac{m_0+m_a}{V_1}=\dfrac{\rho_0V_0+\rho_aV_a}{V_1}=\dfrac{\rho_0V_0+\rho_a(V_1-V_0)}{V_1}=(\rho_0-\rho_a)\dfrac{V_0}{V_1}+\rho_a \). Despejando \( V_1 \),

\( V_1=\dfrac{(\rho_0-\rho_a)V_0}{\rho_1-\rho_a} \) (1)

Si lo que pide el enunciado es el valor de \( \dfrac{V_a}{V_1}=\dfrac{V_1-V_0}{V_1} \), sustituyendo (1) en esta última expresión y operando, se llega a que

\( \dfrac{V_a}{V_1}=\dfrac{\rho_0-\rho_1}{\rho_0-\rho_a}=0,0742=7,42\ \% \).

Saludos cordiales,
JCB.