Hola
¿Y sin tener que recurrir a eso? ¿Hay alguna forma de hacerlo de manera directa?
¿A qué llamas directa? Fíjate que para probar que dos figuras NO son homemorfas lo que se hace siempre es probar que tienen alguna propiedad topológica (que se conserva por homeomorfimos) diferente.
Hay casos sencillos: por ejemplo si tienen distinto número de componentes conexas, cosa fácil de comprobar.
Otros un poco más sutiles pero fáciles igualmente: si retiramos un número finito de puntos en cada uno de ellos y resultan diferente número de componentes conexas (por ejemplo una cruz no es homemorfa a un segmento porque quitando el punto central de la cruz qudan 4 componentes y eso nunca ocurre en un segmento).
Pero en otras situaciones no es tan sencillo. Una herramienta típica que se usa es el grupo fundamental o más en genreal los grupos de homología y/o cohomlogía. Esencialmente consiste en asignar a cada espacio topólogico unos invariantes algebraicos que se conservan por homeomorfismos. Pero para aplicar este tipo de razonamientas tienes que haver estudiado la teoría subyacente no sé si es tu caso.
El camino propuesto por Alopsiso va por la línea que apunto (en su forma más ligera): un conjunto es simplemente conexo si todo "lazo" puede colapsarse a un punto; equivalentemete si su grupo fundamental es trivial; intuitivamente si no tiene "agujeros".
El camino propuesto por Fallen Angel está bien intuitivamente pero no es tan fácil de formalizar; que una curva homeomorfa a una circunferencia dividie a la misma en dos componentes conexas es intuitivo, pero formalmente cercano con el Teorema de la curva de Jordan cuya demostración no es trivial.
Saludos.
P.D. ¿En qué asignatura te han hecho esta pregunta?. Mi sensación es que te proponen ese problema para ver como te las arreglas para razonar "con lo puesto". Más adelante te darán las herramientas para responder a la pregunta con toda rigurosidad.
