Hola
Una variable aleatoria X toma los valores 0,1,2,3; de su distribución Dr probabilidad se sabe que :
\( P(1\leq{X}\leq{2}=1/2 \)
\( P(0.5\leq{X}\leq{3}=3/4 \)
\( E[X]=11/8 \)
Dado que \( X \) toma cuatro valores para saber su distribución de probabilidad tienes que conocer:
\( P(X=0)=p_0,\quad P(X=1)=p_1,\quad P(X=2)=p_2,\quad P(X=3)=p_3 \)
Sabes que:
\( p_0+p_1+p_2+p_3=1 \)
De \( P(1\leq{X}\leq{2}=1/2 \), se tiene que \( p_1+p_2=1/2. \)
De \( P(0.5l\eq X\leq 3)=3/4 \), se tiene que \( p_1+p_2+p_3=3/4. \)
De \( E[X]=11/8 \), sabes que: \( 0\cdot p_0+1\cdot p_1+2\cdot p_2+3\cdot p_3=11/8 \).
Otra variable aleatoria Y es siempre no negativa y menos o igual que X; cuando X toma el valor 3, la variable Y es binomial de media 1.5; cuando X toma el valor 2, la variable Y es binomial de media 0.5; cuando X toma RL valor 1, la media de Y es 0.5
A) calcula la distribución de probabilidad conjunta de X e Y
B)calcula la distribución marginal de Y
C) son X e Y independientes
Del enunciado sabes que \( (Y|X=3)\sim B(3,p) \): como la media de una binomial es \( np=1.5 \) se tiene que \( p=0.5 \).
Análogamente \( (Y|X=2)\sim B(2,0.25) \), \( (Y|X=1)\sim B(1,0.5) \). Si \( X=0 \) entonces \( Y=0 \).
Ahora dado que \( Y\leq X \) el par \( (X,Y) \) toma los valores:
\( (0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3) \)
Para hallar las probabilidades de cada uno de ellos usaremos:
\( P((X,Y)=(x,y))=P(Y=y|X=x)P(X=x) \)
Por ejemplo:
\( P((X,Y)=(3,1))=P(Y=1|X=3)P(X=3)=\displaystyle\binom{3}{1}0.75^1(1-0.75)^{3-1}\cdot p_3 \)
Continúa....
Saludos.
