Una idea para la primera consiste en agrupar el primer término con el último, el segundo término con el penúltimo, el tercer término con el antepenúltimo... es decir:
\( \begin{align*} S_n &= 1+2+3+4+...+ (n-3) + (n-2) + (n-1) + n \\ &= (1+n) + (2 + (n-1)) + (3 + (n-2)) +...+ ((n-2) +3) + ((n-1) + 2) + (n+1) \end{align*} \)
Todos los paréntesis valen \( (n+1) \) y esa suma se repite \( n/2 \) veces luego
\( \displaystyle S_n = \frac{n (n+1)}{2} \)
Para la segunda basta notar que
\( 1 = 1^2 \)
\( 1 + 3 = 4 = 2^2 \)
\( 1 + 3 + 5 = 9 = 3^2 \)
\( 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2 \)
y ahora la completas por inducción y listo. Son pocas series las que se pueden hallar de estas maneras, y entre ellas están las sumas telescópicas. Hay varios métodos para hallar las sumas de series, pero en mi opinión, los más bonitos son tipo los ejemplos que has puesto.
Saludos.
