Hola, tal vez un poco tarde, pero aquí esta mi solución: En el texto guía que tengo, dice que la recurrencia \( A_ka_{n+k}+A_{k-1}a_{n+k-1}+ A_{k-2}a_{n+k-2}+\cdots+A_na_n=f(n) \), con \( A_i \) constantes, se debe hacer, como se trabajan las ecuaciones diferenciales, es decir se debe hallar la solución de la recurrencia homogénea (\( a_{(h)} \)), y sumarle a esto la solución particular (\( a_{(p)} \)) asociada al termino no homogéneo de la forma \( f(n) \), quedando una solución de la forma \( a_n=a_{(h)}+a_{(p)} \), luego se debe resolver primero:
\( a_n=3a_{n+1}\Longrightarrow{1=3r\Longrightarrow{r=\frac{1}{3}}} \), de donde se tiene que la solución homogénea es de la forma \( a_{(h)}=x3^{-n} \).
En el libro dice que si la parte homogénea es de la forma \( f(n)=t^nn^k \), entonces \( a_{(p)}=t^n(C_kn^k+C_{k-1}n^{k-1}+\cdots+Cn+C_0) \), por ende \( a_{(p)}=3^n(yn^2+zn+w) \)
En nuestro caso nos queda entonces que : \( a_n=a_{(h)}+a_{(p)}=x3^{-n}+3^n(yn^2+zn+w) \)
Resta entonces hallar las constantes \( x,y,z \) y \( w \), para ello se plantea un sistema de ecuaciones lineales de \( 4\times4 \), teniendo que \( a_1=-4, a_2=\frac{-10}{3}, a_3=\frac{-334}{9} \), y \( a_4=\frac{-7624}{27} \).
\( \begin{matrix}{x3^{-1}+3(y+z+w)=-4}\\\\{x3^{-2}+3^{2}(y2^{2}+z2+w)=\frac{-10}{3}}\\\\{x3^{-3}+3^{3}(y3^{2}+z3+w)=-\frac{334}{9}}\\\\{x3^{-4}+3^{4}(y4^{2}+z4+w)=-\frac{7624}{27}}\end{matrix} \)
de lo anterior se tiene que \( \left[x=-\frac{705}{64},y=-\frac{1}{2},z=\frac{11}{8}, w=-\frac{63}{64}\right] \), por lo tanto el termino n-esimo de la sucesión es:
\( a_n=-\frac{705}{64}\cdot 3^{-n}+3^{n}(-\frac{1}{2}n^{2}+\frac{11}{8}n-\frac{63}{64}) \)
saludos
