[TitoNathan]

Buenas, volviendo a repasar el tema de conjuntos, he encontrado un problema sobre cardinalidad que no se resolver, alguien podría aportar una solución?

Enunciado:
100 estudiantes cursan al menos una de las asignaturas M, F, Q y sabemos que 12 estudian M, F, y Q, 22 solo M y F, 3 solo M y Q y 7 solo F y Q. ¿Cuantos alumnos estudian una sola asignatura?

Muchísimas gracias.

[Juan Pablo Sancho]

Tenemos:
\(  100 = |M \cup F \cup Q|  \)
\(  12 = |M \cap F \cap Q |  \)
\(  22 = | M \cap F |  \)
\(  3 = |M \cap Q|  \)
\(  7 = |F \cap Q|  \)



\(  100 = |M \cup F \cup Q|  =  \)

\(  = |M| + |F| + |Q| - |M \cap F| -  |M \cap  Q| - | F \cap Q| + |M \cap F \cap Q|  \)

Entonces:

\(  |M| + |F| + |Q| = 120  \)

\(  |F| = |F \cap (\bar{M} \cap \bar{Q})|  +  |F \cap ( M  \cup Q)|  \)
\(  |F| = |F \cap (\bar{M} \cap \bar{Q})|  +  |F \cap  M| +  | F \cap Q)| - |F \cap M \cap Q|  \)
\(  |F \cap (\bar{M} \cap \bar{Q})| = |F| -  |F \cap  M| -  | F \cap Q)| + |F \cap M \cap Q|  \)
 
\(  |Q| = |Q \cap (\bar{M} \cap \bar{F})|  +  |Q \cap ( M  \cup F)|  \)
\(  |Q| = |Q \cap (\bar{M} \cap \bar{F})|  +  |Q \cap  M| +  | F \cap Q)| - |F \cap M \cap Q|  \)
\(  |Q \cap (\bar{M} \cap \bar{F})| = |Q| -  |Q \cap  M| -  | F \cap Q)| + |F \cap M \cap Q|  \)

\(  |M| = |M \cap (\bar{Q} \cap \bar{F})|  +  |M \cap ( Q  \cup F)|  \)
\(  |M| = |M \cap (\bar{Q} \cap \bar{F})|  +  |Q \cap  M| +  | F \cap M)| - |F \cap M \cap Q|  \)
\(  |M \cap (\bar{Q} \cap \bar{F})| = |M| -  |Q \cap  M| -  | F \cap M)| + |F \cap M \cap Q|  \)


\(  |F \cap (\bar{M} \cap \bar{Q})| + |Q \cap (\bar{M} \cap \bar{F}| + |M \cap (\bar{Q} \cap \bar{F}| =  \)

\(  = -2\cdot (|F \cap M| + |F \cap Q| + |Q \cap M| ) + 3\cdot |F \cap M \cap Q| + |F|+|Q| + |M|  =  \)

\(  = -64 + 36 + 120 = 92  \)

Cualquier revisión bienvenida será.