Hola, me piden lo siguiente:
¿Pueden los campos vectoriales sobre la línea que definen las siguientes cinco ecuaciones diferenciales ser transformados unos en otros por difeomorfismos?
1) \( \dot x=\sin(x) \)
2) \( \dot x=2\sin(x) \)
3) \( \dot x=\sin^2(x) \)
4) \( \dot x=\sin(2x) \)
5) \( \dot x=2\sin(x)+\sin^2(x) \)
Respuesta del libro: La segunda se puede transformar en la cuarta y en la quinta. Nota del libro: ¡El quinto caso es extremadamente difícil!Bueno, para saber la respuesta se me ha ocurrido dibujar los campos vectoriales, y de ahí las familias de soluciones, así:
Veo que las familias de líneas son periódicas, determinando el período el punto fijo. Y veo que puedo deformar todas las líneas al mismo tiempo, y conseguir que, por ejemplo, las soluciones de 1) y 2) se solapen. Lo mismo puedo hacer con las de 1) y 3), pero aquí habría que empujar con fuerza hacia arriba a las curvas con pendiente negativa que tienden a apelotonarse en el punto fijo de 1), para apelotonarlas en el punto fijo inmediato superior, y eso me da duda de si se podrá hacer. La 1) y la 4) son la misma, sólo que reescalando el eje x para cambiar los períodos y la consiguiente situación de los puntos fijos.
Sin embargo, la respuesta que me da el libro me deja atónito. ¿Es que no tienen nada que ver mis razonamientos?
¡¡Muchas gracias por vuestras respuestas!!
