[TitoNathan]

Buenas, tengo este ejercicio:

Un investigador tiene 5 ayudantes y participa en un proyecto que exige la síntesis de 9 compuestos ¿De cuantas maneras puede el investigador asignar esta síntesis a los 5 ayudantes para que cada uno trabaje al menos en una?.

Creía haberlo resuelto correctamente pero me puse a pensar y después hay algo que no me cuadra.

Mi resolución es la siguiente:

Primero voy a repartir los 9 compuestos (distintos) entre los 5 ayudantes con la restricción de que cada uno puede sintetizar como máximo 1 compuesto cada uno. Luego:
\( P(9,5)=9x8x7x6x5=15120 \)
Pero hay que tener en cuenta que al asignar sólo 1 compuesto a cada ayudante, en cada asignación me van a sobrar 4 compuestos, que ahora puedo asignar sin ninguna restricción. Luego asignando 4 objetos a 5 posiciones:
\( 5^4=625 \)
Por lo tanto el resultado que me piden es \( 9x8x7x6x5x5^4=15120x625=9450000 \)

Esta es mi resolución al ejercicio, pero depués he pensado, ¿qué pasaría si se hubieran repartido los 9 compuestos directamento sin ninguna restricción? Y he hecho el cálculo:
\( 5^9=1953125 \), lo que me ha hecho darme cuenta de que no puede haber más formas de repartir los compuestos con la restricción que se me dá que sin ninguna restricción.
¿Dónde estoy fallando? Muchas gracias de antemano, espero haberme explicado bien.

[Fernando Revilla]

Una sugerencia. Llamando \( 1,2,\ldots,9 \) a los compuestos y \( A,B,C,D,E \) a los investigadores, la siguiente tabla:

          \( \begin{tabular}{| c | c | c | c | c | c | c | c | c |}
\hline
{1} & {2} & {3} & {4} & {5} &{6}&{7}&{8}&{9} \\
\hline
{A}&{B}&{C}&{D}&{A}&{D}&{E}&{A}&{C} \\
\hline
\end{tabular} \)

representa una de las formas de asignar los 9 compuestos a los 5 investigadores (3 compuestos al A, ... , 1 compuesto al E).

[TitoNathan]

No lo he entendido bien del todo... creo que eso es lo que hice ya en mi explicación de arriba.

[Fernando Revilla]

Primero voy a repartir los 9 compuestos (distintos) entre los 5 ayudantes con la restricción de que cada uno puede sintetizar como máximo 1 compuesto cada uno. Luego: \( P(9,5)=9x8x7x6x5=15120 \) Pero hay que tener en cuenta que al asignar sólo 1 compuesto a cada ayudante, en cada asignación me van a sobrar 4 compuestos, que ahora puedo asignar sin ninguna restricción. Luego asignando 4 objetos a 5 posiciones: \( 5^4=625 \)

De esa manera estás contando más de una vez las asignaciones. Ponte algún ejemplo, y te darás cuenta.

[TitoNathan]

Creo que ahora si lo he hecho:

\( S(9,5)=\displaystyle\frac{1}{5!}(5^9-\displaystyle\frac{5}{1}\cdot{4^9}+\displaystyle\frac{5\cdot{4}}{2}\cdot{3^9}-\displaystyle\frac{5\cdot{4\cdot{3}}}{3\cdot{2}}\cdot{2^9}+\displaystyle\frac{5\cdot{4\cdot{3\cdot{2}}}}{4\cdot{3\cdot{2}}})=834120 \)

[Fernando Revilla]

Correcto. En general sería el número de Stirling de segundo orden:

          \( \displaystyle\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\} = \frac{1}{k!}\sum_{j=0}^k (-1)^{j}{k \choose j} (k-j)^n. \)

[TitoNathan]

Muchas gracias !!