[TitoNathan]

Buenas, acabé hace unos días el tema de técnicas de recuento y al ponerme a hacer ejercicios he sabido hacer la grán mayoría pero me encontré estos 3 a los que no les encuentro la solución.
Alguien podría aportar la solución diciéndome cuál ha sido su razonamiento?

83.¿De cuantas formas se puede hacer una partición de un conjunto de 4n elementos de
forma que cada parte tenga 2n elementos? ¿De cuantas si cada parte tiene n elementos.

85.Supongamos que tenemos un número de subconjuntos de N8 con la propiedad de
que cada uno de ellos tiene cuatro elementos y que cada elemento de N8 pertenece a tres
subconjuntos exactamente. ¿Cuántos subconjuntos hay?

87.Sobre un triangulo equilátero de 1m de lado se sitúan 5 bolas en el interior probar
que dos de ellas están a una distancia menor que 0,5m.

Muchísimas gracias !!

[TitoNathan]

Nadie sabe hacer estos? 

[Alejandro Caballero]

83. Formas de elegir 2n elementos en un conjunto 4n (como es la mitad el otro viene determinado). Números combinatorios.

85. ¿Qué es N8?

87. ¿Sobre un triángulo en el interior? No entiendo el enunciado. ¿Las pones como quieras? El diámetro del triángulo es 1 metro, y sólo hay tres puntos que verifican esta distancia (los vértices del triángulo), pongamos donde pongamos otra más, habrá estrictamente menor distancia de 1 respecto a las otras tres. El triángulo equilátero se puede circunscribir, en un círculo sus puntos distan de la circunferencia como máximo el radio, el triángulo está contenido en el círculo y el radio de la circunscripción es menor que la unidad (cabe calcularlo), ahora para añadir la quinta bola divide el triángulo (haciendo una partición) en 9 triángulos equiláteros semejantes... Suponiendo que no puedas poner las bolas una encima de otra, habrá de estar dentro de alguno de estos triángulos. Pues bien, calcula el radio que los circunscribe que es menor que un medio.

¡Un saludo!

[TitoNathan]

85. ¿Qué es N8?

Muchas gracias por la respuesta!!
Ahora mismo tengo que irme a hacer una cosa pero en cuanto pueda me pongo con lo que me has dicho sobre los ejercicios 83 y 87 (aunque no he entendido muy bien del todo a lo que te refieres en tu comentario sobre el 83).

PD:N8 yo diría que se refiere al conjunto de números naturales \( \left\{{0,1,2,3,4,5,6,7}\right\} \)

[Alejandro Caballero]

Me refería a \( \displaystyle\binom{4n}{2n} \).

Si se refiere a eso... \( \displaystyle\binom{8}{4} \) son los posibles subconjuntos, ahora hay que retirar unos cuantos para hacer que no haya ningún elemento que esté en más de tres de ellos.

Los conjuntos donde está el número 0 (o el 1, o el 2, o...) son \( \binom{8}{1}=8 \), por tanto hemos de quitar 5 de cada... Esto és \( 8\cdot 5 = 40 \).

Y tenemos que \( \binom{8}{4}-40=70-40=30. \)

¡Saludos!

[TitoNathan]

Muchísimas gracias !! no encontraba solución para esos 3