[vico olm]

Hola a todos!!!
Necesito ayuda con el siguiente problema ya que necesito respuestas por favor ayúdenme, ahí va:
Sea un triángulo rectángulo con sus lados enteros positivos, sea una circunferencia inscrita cuyo radio es 6. Halle todos los posibles valores de los lados del triángulo.

[Alejandro Caballero]

Muy buenas, ¡es agradable que la gente salude como has hecho tú, antes de preguntar!

A ver, inscrita significa que es tangente a todos los lados del triángulo, esto es que el centro de la misma está donde se cruzan las perpendiculares de los lados.

Si te fijas una vez resuelto el triángulo verde queda todo resuelto. Así que hay tantas soluciones como triángulos verdes posibles y estas posibilidades son infinitas y dependen de la asiganción de ángulos que escojas.

[Carlos Ivorra]

Ojo, que dice que los lados tienen que ser enteros. Yo creo que la única solución es (3, 4, 5).

Si los catetos miden a y b, la ecuación de la recta de la hipotenusa es \( bx+ay=ab \), y tiene que cumplirse que su distancia a (6,6) sea 6, esto es \( \dfrac{|6a+6b-ab|}c=6 \), es decir, \( |6a+6b-ab|=6c \), donde \( a^2+b^2=c^2 \).

Yo ahora usaría la clasificación de las ternas pitagóricas. No sé si habrá otra forma más sencilla de seguir.

[Alejandro Caballero]

Cierto, hoy ando la mar de despistado y no me fijo en cosas de los enunciados. ¡Hay que entender los enunciados antes de abordar un problema!

¿En rigor habría que probar unos cuantos primeros casos y luego ver que, para números mayores, \( ab \) ya es considerablemente más grande que \( 6(a+b) \) y \( 6c \) o se me escapa alguna cosa?

[Carlos Ivorra]

Ojo, que hay más. No había considerado bien una de las dos posibilidades que da el valor absoluto. Por ejemplo (36, 15, 39) parece ser otra.

Yo estoy usando que toda terna pitagórica es de la forma \( (nx, ny, nz) \), donde \( x=2pq \), \( y=p^2-q^2 \), \( z=p^2+q^2 \), con \( q<p \) y primos entre sí y de paridad opuesta.

Si lo de dentro del valor absoluto es positivo, creo que sólo se llega a (3, 4, 5), pero si es negativo llego a \( 6=nq(p-q) \), y ahí aparecen más posibilidades.

[Alejandro Caballero]

¡Vaya! El problema tiene más miga de lo que parecía... Jugar sólo con enteros no es sencillo...

Gracias por tu respuesta, porque incluso de haberme dado cuenta, no tengo muy claro que hubiera caído (al menos tan rápido) en usar ternas pitagóricas y además esas propiedades que enuncias ahora las desconocía por completo.

[Carlos Ivorra]

Resulta que vico olm ya había planteado este problema aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=76359.0

Y ya se lo habían resuelto.

vico olm: no me hace ninguna gracia haber perdido el tiempo tratando de resolverte una duda que ya te habían resuelto. Está prohibido plantear el mismo problema en dos hilos distintos para evitar que pase esto. Yo personalmente no voy a resolver más dudas tuyas. Y si vuelves a duplicar hilos serás expulsado del foro.