[Michel]

Dado el paralelogramo ABCD y un punto X, demostrar que el valor de la expresión

\( XA^2+XC^2-XB^2-XD^2 \)

no depende de la elección del punto X.

Pista: Hacer uso de la suma de los cuadrados de dos lados de un triángulo.

[Abdulai]

De la siguiente construcción:




\( \\XA^2=s^2+p^2\\XB^2=p^2+q^2\\XC^2=q^2+r^2\\XD^2=r^2+s^2 \)

\( \\XA^2-XB^2+XC^2-XD^2=s^2+p^2-p^2-q^2+q^2+r^2-r^2-s^2=0\qquad \forall X \)

[teeteto]

Abdulai, el enunciado dice paralelogramo.

[Abdulai]

Abdulai, el enunciado dice paralelogramo.

   La vista ya no es la misma...

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Va de nuevo pero esta vez leyendo el enunciado.



Aplicando el teorema del coseno en cada segmento

\( \\XA^2=s^2+p^2+2sp\cos\alpha\\XB^2=p^2+q^2-2pq\cos\alpha\\XC^2=q^2+r^2+2qr\cos\alpha\\XD^2=r^2+s^2-2rs\cos\alpha \)

\( \\XA^2-XB^2+XC^2-XD^2 = 2\left(sp+pq+qr+rs\right)\cos\alpha=2(p+r)(q+s)\cos\alpha=2\;AB\;BC\cos\alpha \quad \forall X \)

[teeteto]

¿Y si X es exterior?

[Abdulai]

¿Y si X es exterior?

Es lo mismo. Cuando X es exterior alguno/s de los segmentos p,q,r,s debe considerarse negativo.