[goart]

Las dudas son las siguientes:
1 Calcular en \( (\mathbb{R},t_u), (\mathbb{R},t_t), (\mathbb{R},t_d) \) (topologia usual, trivial y discreta) la clausura la frontera y el interior de los siguientes conjuntos:
\( A=(-\sqrt{2},1]\cup{\left\{{\pi, e}\right\}} \) (tengo mas ejercicios, que subire para ver si entiendo bien sus respuestas)

Se que la topologia trivial solo tiene dos subconjuntos el vacio y el total con lo cual:
\( (\mathbb{R},t_t)=\left\{{\emptyset,A}\right\} \)
La topologia discreta es la formada por todos los subconjuntos, en este caso de A, pero no
se como ponerlo.
Y con la usual me pierdo totalmente.

2. X un conjunto \( A\subseteq{X} \) subconjunto no vacío de X y diferente de X

\( t_a=\left\{{U\subseteq{X}:U\cap{A}=\emptyset}\right\}\cup{\left\{{X}\right\}} \)

¿cómo estudiar si \( (X,t_a) \) es un espacio de Hausdorff?

[Fallen Angel]

Hola, en el primero parece que intentas hacer algo con la topología heredada de A como subespacio de la recta real, pero dudo que sea eso lo que te preguntan dado que entonces es trivial.

1.Con la topología trivial

Como los únicos abiertos son el vacío y el espacio total (\( \mathbb{R} \), no \( A \)) y el interior de un conjunto debe ser abierto y contenido en tal conjunto, \( int(A)=A^{\circ}=\emptyset \).

La clausura debe ser un cerrado y debe contener a tu conjunto, de nuevo los únicos cerrados son el total y el vacío luego \( claus(A)=\bar{A}=\mathbb{R} \)

La frontera es la diferencia entre clausura e interior, luego es \( \mathbb{R} \)

2.Con la topología discreta

Con esta topología todo subconjunto de \( \mathbb{R} \) es abierto (por ende también cerrado) luego \( A^{\circ}=A=\bar{A} \)

Por tanto, su frontera es vacía

3.Con la topología usual

Una base para esta topología son los intervalos abiertos, (OJO! No significa que los abiertos sean los intervalos abiertos)

Si tienes un abierto que contenga a e (resp. \( \pi \)) necesariamente tiene que contener un abierto de la base que, sin pérdida de generalidad podemos suponer que es de la forma \( (e-\epsilon, e+\epsilon) \) (resp. \( (\pi-\epsilon, \pi+\epsilon)[\tex]) que no están contenidos en [tex]A \), luego e,\( \pi \notin A^{circ} \).

Del mismo modo ocurre para 1.

Ya hemos probado que estos tres puntos no están en el interior de A, ahora, A sin estos puntos es \( (-\sqrt{2},1) \) que es un abierto contenido en A, por tanto \( A^{\circ}=(-\sqrt{2},1) \)

En cuanto a su clausura podemos, para hacerlo un poco diferente, notar que la sucesión \( a_{n}=-\sqrt{2}+\dfrac{1}{n} \) es una sucesión de Cauchy (por tanto convergente) contenida en A, luego su límite debe estar en la clausura de A, es decir, \( -\sqrt{2}\in \bar{A} \), ahora \( [-\sqrt{2},1]\cup \{e, \pi\} \) es un cerrado que contiene a A, luego \( \bar{A}=[-\sqrt{2},1]\cup \{e, \pi\} \).


En cuanto al segundo ejercicio, un espacio se dice Hausdorff si para cualquier par de puntos en el espacio existen sendos entornos disjuntos.

Si tomas un punto en A, su único entorno es X, por tanto un entorno de cualquier otro punto va a tener intersección no vacía con éste, por tanto tu espacio no es Hausdorff.

Un saludo.

[goart]

En la topología usual la frontera sería:
\( Fr(A)=\left\{{-\sqrt{2},1}\right\}\cup{\left\{{\pi,e}\right\}} \)

El enunciado es el mismo que para el anterior conjunto

Ahora el conjunto es \( B=\left\{{\displaystyle\frac{1}{n+1}}\right\} \) con n perteneciente a \mathbb{N}
Con la topologia trivial \( (\mathbb{R},t_t) \)
Pasa lo mismo que en el caso anterior \( Int(B)=\emptyset,\bar{B}=\mathbb{R} y Fr(B)=\mathbb{R} \)

Con la topología discreta \( (\mathbb{R},t_d) \)
Pasa lo mismo que antes \( Int(B)=\bar{B}=B y Fr(B)=\emptyset \)

Con la topología usual \( (\mathbb{R},t_u) \)
Creo que \( Int(B)=(0,1), \bar{B}=[0,1] y Fr(B)=\left\{{1, 0}\right\} \) pero no estoy seguro

Ahora el conjunto es \( C=\mathbb{N} \)
Con la topología trivial \( (\mathbb{R},t_t) \)
\( Int(B)=\emptyset,\bar{B}=\mathbb{R} y Fr(B)=\mathbb{R} \)
¿En este caso siempre va ser así, o se puede dar otra cosa?

Con la topología discreta \( (\mathbb{R},t_d) \)
\( Int(C)=\bar{C}=C y Fr(C)=\emptyset \)

Con la topología usual \( (\mathbb{R},t_u) \)
Creo que \( Int(C)=\mathbb{N}, \bar{C}=? y Fr(C)=? \)

no lo tengo muy claro, el ejercicio que me has explicado si y lo veo bien pero me sigo
perdiendo un poco, si puedes explicármelo otra vez con estos ejercicios seria genial
y gracias por todo

[Luis Fuentes]

Hola

En la topología usual la frontera sería:
\( Fr(A)=\left\{{-\sqrt{2},1}\right\}\cup{\left\{{\pi,e}\right\}} \)

Correcto.

Ahora el conjunto es \( B=\left\{{\displaystyle\frac{1}{n+1}}\right\} \) con n perteneciente a \mathbb{N}
Con la topologia trivial \( (\mathbb{R},t_t) \)
Pasa lo mismo que en el caso anterior \( Int(B)=\emptyset,\bar{B}=\mathbb{R} y Fr(B)=\mathbb{R} \)

Correcto.

Con la topología discreta \( (\mathbb{R},t_d) \)
Pasa lo mismo que antes \( Int(B)=\bar{B}=B y Fr(B)=\emptyset \)

Correcto.

Con la topología usual \( (\mathbb{R},t_u) \)
Creo que \( Int(B)=(0,1), \bar{B}=[0,1] y Fr(B)=\left\{{1, 0}\right\} \) pero no estoy seguro

No. Fíjate que el interior es el mayor abierto contenido en el conjunto. Pero tu conjunto está formado por puntos aislados: no hay ninguna bola abierta, ningún intervalo abierto contenido en él: el interior es vacío.

La clausura son los puntos de la sucesión y su límite, por tanto...

Ahora el conjunto es \( C=\mathbb{N} \)
Con la topología trivial \( (\mathbb{R},t_t) \)
\( Int(B)=\emptyset,\bar{B}=\mathbb{R} y Fr(B)=\mathbb{R} \)
¿En este caso siempre va ser así, o se puede dar otra cosa?

Correcto. Con la topología trivial el interior de un conjunto es vacío excepto si el conjunto es todo el espacio en cuyo caso el interior es el propio conjunto. La clausura es todo el espacio si el conjunto es no vacío.

Con la topología discreta \( (\mathbb{R},t_d) \)
\( Int(C)=\bar{C}=C y Fr(C)=\emptyset \)

Correcto.

Con la topología usual \( (\mathbb{R},t_u) \)
Creo que \( Int(C)=\mathbb{N}, \bar{C}=? y Fr(C)=? \)

Está mal. Una vez revisado el conjunto \( B \), aplica las mismas ideas en este caso.

Saludos.

[goart]

En el conjunto B con (\mathbb{R},t_u), \( Int(B)=\emptyset \) y si no lo e entendido mal
\( \bar{B}=B\cup{\left\{{0}\right\}} \), ya que cuando n tiende a infinito, el limite de la
sucesion es 0.
\( Fr(B)=\bar{B} \)

En el conjunto C con (\mathbb{R},t_u) el \( Int(C)=\emptyset \), porque no tengo ni intervalos
abiertos ni bolas abiertas, son puntos aislados y la clausura y la frontera serian:
\( \bar{C}=C \) y \( Fr(C)=\bar{C} \)

[goart]

X un conjunto A\subseteq{X} subconjunto no vacío de X y diferente de X

t_a=\left\{{U\subseteq{X}:U\cap{A}=\emptyset}\right\}\cup{\left\{{X}\right\}}

No puse que me pedian probar que t_a define una topologia en X. ¿Seria algo asi?

1-\( X\in{t_a} \) por definicion y \( \emptyset\in{t_a} \) porque es un subconjunto

2-La union de elementos de t_a es un elemento t_a. Yo tengo:
   \( \left\{{U_i : i\in{t_a}}\right\}\Rightarrow{U_i\cap{A}=\emptyset} \) entonces por ejemplo
   \( (U_1\cup{U_2})\cap{A}=\emptyset \) por tanto la U_1\cup{U_2} pertenece a t_a
   
3-La interseccion finita de elementos de t_a es un elemento de t_a. Aqui tengo:
   U_1, U_2 pertenecientes a t_a. \( (U_1\cup{U_2})\cap{A}=\emptyset \) por tanto la interseccion
   de U_1, U_2 pertenece t_a, porque el vacio pertenece a t_a.

¿Te pueden preguntar si (X, t_a) es conexo, compacto...? De ser afirmativa la respuesta, ¿como puedo comprobarlo?

[goart]

Perdonar las molestias

X un conjunto \( A\subseteq{X} \) subconjunto no vacío de X y diferente de X

\( t_a=\left\{{U\subseteq{X}:U\cap{A}=\emptyset}\right\}\cup{\left\{{X}\right\}} \)

No puse que me pedian probar que \( t_a \) define una topología en X. ¿Sería algo así?

1-\( X\in{t_a} \) por definición y \( \emptyset\in{t_a} \) porque es un subconjunto

2-La unión de elementos de \( t_a \) es un elemento \( t_a \). Yo tengo:
   \( \left\{{U_i : i\in{t_a}}\right\}\Rightarrow{U_i\cap{A}=\emptyset} \) entonces por ejemplo
   \( (U_1\cup{U_2})\cap{A}=\emptyset \) por tanto la \( U_1\cup{U_2}[tex] pertenece a [tex]t_a \)
   
3-La intersección finita de elementos de \( t_a \) es un elemento de \( t_a \). Aqui tengo:
   \( U_1, U_2 \) pertenecientes a \( t_a \). \( (U_1\cup{U_2})\cap{A}=\emptyset \) por tanto la intersección
   de \( U_1, U_2 \) pertenece \( t_a \), porque el vacio pertenece a \( t_a \).

¿Te pueden preguntar si \( (X, t_a) \) es conexo, compacto...? De ser afirmativa la respuesta, ¿cómo puedo comprobarlo?

[Fallen Angel]

2.- Eso no es lo que tienes que ver, tienes que ver que la unión numerable de abiertos es abierta, la idea es la misma

3.-En este caso si vale con verlo para 2 abiertos porque sólo tienes que probarlo para unión finita y para ello se procede recursivamente del mismo modo.

\( t_a \). \( (U_1\cup{U_2})\cap{A}=\emptyset \) por tanto la interseccion
   de \( U_1, U_2 \) pertenece \( t_a \), porque el vacio pertenece a \( t_a \).

Es cierto que la intersección es abierta, pero no tiene nada que ver que el vacío pertenezca a la topología, es decir,  \( (U_1\cup{U_2})\cap{A}=\emptyset \)  no implica \( U_{1}\cap U_{2}=\emptyset \).

¿Te pueden preguntar si \( (X, t_a) \) es conexo, compacto...? De ser afirmativa la respuesta, ¿como puedo comprobarlo?

Si, poder pueden.

Dado que A es no vacío y distinto de X (i.e. subconjunto propio), puedes tomar un punto \( a\in A \).
El único abierto que lo contiene entonces es el espacio total, \( X \), si tienes una descomposición \( X=U\cup V \) entonces \( a\in U \ \acute{o} \ a\in V \), luego \( U=X \ \acute{o} \ V=X \) por tanto tu espacio es siempre conexo.
Del mismo modo se ve que siempre es compacto.

Un saludo!