[Ika]

Demostrar que si \( X \) es un conjunto finito y la función \( g:X \rightarrow X \) es inyectiva, entonces \( g \) es biyectiva. Demostrar el mismo hecho si \( g \) es sobre.

Spoiler

Si \( X \) es finito, entonces existe \( n \in \mathbb{N} \) tal que existe \( h: \mathbb{N}_n \rightarrow X \) biyectiva. Haciendo composición de funciones \( h \circ g:\mathbb{N}_n \rightarrow X \) debe ser biyectiva. Pero de aquí no se si deducir que \( g \) es biyectiva.

[cerrar]

¿El resultado es cierto si \( X \) es infinito?

[Asdrúbal Beltrán]

Para el caso finito, puedes hacerlo por contradicción, supones que \( g \) es inyectiva pero no es sobre, entonces existe \( x\in X \) que no tiene preimagen. Y
por lo tanto al tener que \( \left |{X}\right |>\left |{X-\{x\}}\right | \) por el "principio del palomar"  \( g \) no es inyectiva.

Para el caso infinito basta ver que la función \( g:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}} \), definida por \( g(x)=\tan^{-1}{x} \), es inyectiva pero no sobre.

saludos