[TitoNathan]

Buenas, estoy estudiando un tema de divisibilidad y congruencias y en la relación de ejercicios me he encontrado uno en el que me preguntan algo que creo que no he estudiado.
Aguien me podría dar la solución y explicar cómo se resuelve?

Calcular x para que \( 331_{(x} \) = \( 106_{(11} \)

Gracias.

[Juan Pablo Sancho]

\(  {\red Editado } \)



\(  331_{(x)} = 3\cdot x^2 + 3 \cdot x + 1 = 1 \cdot 11^2 + 0 \cdot 11 + 6 = 106_{(11)}  \)

\(  3\cdot x^2 + 3 \cdot x + 1 = 127  \)

\(  3\cdot x^2 + 3 \cdot x + -126 = 0 \)

\(  x^2+x - 42 =0  \)

\(  (x+\dfrac{1}{2})^2 - \dfrac{1}{4} -42 =0  \)

\(  (x+\dfrac{1}{2})^2 - \dfrac{169}{4} =0  \)

Spoiler

\(  x=6  \)

[cerrar]

[TitoNathan]

Seguro que se resuelve así? porque no me suena de nada.
En caso de que estés seguro de que se resuelve así, por qué se descarta la solución negativa de la ecuación?

[Fallen Angel]

Hola!

No estoy seguro de que es exactamente lo que quieres decir con esa notación, si es congruencia modular, entonces:
Primero reduces el 106 por simplicidad
\( 106 \equiv 7 \ (m\acute{o}d \ 11) \)

Ahora solo se trata de buscar \( x \) tal que \( 331=kx+7 \) para algún \( k\in \mathbb{Z} \)
Es decir, las soluciones son infinitas, hay una por cada entero.

Si por ejemplo tomamos \( k=1 \), que es la más sencilla , entonces \( x=324 \) es solución.


Si lo que significa esa notación es que la división tiene que tener el mismo cociente y resto entonces basta con tomar \( k=9 \) (porque \( 106=9\cdot 11 +7 \))

Un saludo

[Juan Pablo Sancho]

Lo que yo veo es que :

\(  106_{(11)}  \) es un número en base \(  11  \)
\(  331_{(x)}  \) es un número en base \(  x  \)

[TitoNathan]

Yo tampoco estoy muy seguro de lo que se me pide porque en todo lo que he estudiado no me aparece nada así.

A ver si alguien es capaz de afirmar con seguridad la solución!!

[TitoNathan]

Lo que yo veo es que :

\(  106_{(11)}  \) es un número en base \(  11  \)
\(  331_{(x)}  \) es un número en base \(  x  \)

Cierto, creo que esa si podría ser lo que me piden. Ahora entiendo tu respuesta anterior, gracias !!

[Héctor Manuel]

Hola. Por la notación, yo también pensé que se trataba de un problema de bases, tal como ha hecho pablitotontito. Solo un matiz: la solución negativa no se debe descartar, de modo que hay dos soluciones para el problema original.

Spoiler

En caso de que no quede claro el problema como lo hemos entendido pablitotontito y yo, interpretamos que te piden encontrar \( x \) de tal manera que 331 en base \( x \) sea el mismo número que 106 en base 11.

[cerrar]

Ojalá nos puedas aclarar qué significa la notación que utilizas.

Saludos, Héctor.

[luis]

no entendí el comentario de héctor. si el tema es que x es una base de numeración, ¿qué significaría una base negativa?

saludos

luis

[Juan Pablo Sancho]

Yo lo he propuesto así, por que en los libros de informática por ejemplo, usan esa notación.
\(  (n_p n_{p-1} \cdots n_1n_0)_{(b}  \).

Para referirse a un número en base \( b  \).