[FranSF]

Este ejercicio también se me resiste:

¿De cuántas formas diferentes podemos pagar 250 euros con billetes de 5,10, 20 y 50 euros?

He intentado calcular el coeficiente de \( x^{250} \) en \( (1+x^5+...)(1+x^{10}+...)(1+x^{20}+...)(1+x^{50}+...) \) pero la cosa se me complica demasiado y no soy capaz de sacarlo.

Espero vuestras respuestas
Gracias y un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

 En primer lugar el problema equivale a pagar \( 50 \) con billetes de \( 1,2,4 y 10. \)

 En segundo lugar haz los cálculos fijando el número de billetes de \( 10 \). Luego suma los resultados.

Saludos.

[FranSF]

Vale, estoy bastante tonto por no haber simplificado la expresión jajaja
Probaré fijando los billetes de 10 a ver que tal, gracias

[Asdrúbal Beltrán]

Si como dice el_manco: Se puede decir que el problema es equivalente al número de soluciones enteras de la ecuación:

\( 5C_1+10C_2+20C_3+50C_4=250\quad C_i\geq{0} \), dividiendo la ecuación por 5:

\( C_1+2C_2+4C_3+10C_4=50 \)

Como para la ecuación anterior el problema no tiene solución si \( C_1 \) es impar, entonces lo anterior equivale a:

\( 2U_1+2C_2+4C_3+10C_4=50 \) con \( C_1=2U_1  \)por ende:

\( U_1+C_2+2C_3+5C_4=25 \)

La función generatriz asociada es:

\( f(x)=(1+x+x^2+\cdots)(1+x+x^2+\cdots)(1+x^2+x^4+\cdots)(1+x^{5}+x^{10}+\cdots) \)

\( f(x)=\displaystyle\frac{1}{(1-x)^2}\cdot\displaystyle\frac{1}{1-x^2}\cdot\displaystyle\frac{1}{1-x^5} \) Y la solución sería el coeficiente de \( x^{25} \).

saludos