[Arnedo]

Hola, buenas tardes.
Se me ha presentado un problemas con triángulos que no sé desarrollar. El caso es que puedo dibujarlo en un progama CAD, introduciendo las variables que tengo e igualando \( h_1=h_2 \).

i=2,355059
c=1,03111
ángulo alpha=15 grados

[elcristo]

Hola, bienvenido al foro.

Exactamente, ¿Qué tienes que resolver? ¿De qué datos dispones?

Da un poco más de información, sino es sólo un dibujo de unos triángulos.

Saludos.

[Arnedo]

Me gustaría obtener el valor de h

[Arnedo]

Perdón, voy a especificar más.

Me gustaría obtener la fórmula para hallar el valor de h.
Sabiendo que:
a=1,03111
b=2,355059
ángulo de alpha=15º
\( h_1=h_2 \)
la perpendicular al punto medio de c pasa por el centro de coordenadas.

Con estos parámetros puedo dibujar esto en mi programa CADcad y obtener todos los datos, pero me gustaría obtener la fórmula, para saber de antemano cual es la circunferencia mínima (de radio "h") introduciendo las variables a,i,alpha.
Al poder hacer esto con mi programa CAD, sé que se puedo resolver matemáticamente, pero no soy muy bueno resolviendo sistemas de ecuaciones. Siempre me sale otra variable y cuando intento sustituirla, me sale una raíz cuadrada dentro de la ecuación que no sé resolver.

[ingmarov]

Lo intentaré
Primero tenemos dos rectas conocidas

\( x=0 \)

y

\( y_1=mx \) donde m es la tangente de \( 75^{\circ} \) por tanto \( m=\tan(75^{\circ})=3.732 \)

Entonces \( y_1=3.732x \)

Ahora necesitamos una recta paralela a la anterior separada por una distancia i=2.355059 y ubicada a su izquierda.

Si escogemos en la primer recta el punto (0,0) para ajustar la distancia. La recta perpendicular que corta a la primera recta en (0,0)
cortará a la segunda recta en (a,b), donde
\( a=-2.355059\cos(15^{\circ}) \) y \( b=2.355059sen(15^{\circ}) \)

Este punto será entonces (-2.2748123,0.609534122)

Ahora ajustamos la recta paralela \( y_2 \)

\( y_2=3.732x+k \) sustituímos coordenadas.

\( 0.609534122=3.732(-2.2748123)+k \)

\( \Rightarrow{k\approx{9.1}} \)

Por tanto \( y_2=3.732x+9.1 \)

El intersepto en el eje y de esta recta (9.1) será el vértice entre los segmentos a y b de tu dibujo, osea la longitud b.

Creo que a es horizontal y por pitágoras calculamos fácilmente \( h_2 \)

\( h2=\sqrt[ ]{a^2+b^2}=\sqrt[ ]{1.03111^2+9.1^2}\approx{9.1573} \)

EDITADO

Las coordenadas del vértice entre los segmentos \( h_1 \) y c son:

(9.1573\( \cos75^{\circ} \),9.1573\( \sen75^{\circ} \))

=(2.37,8.8472)

[Arnedo]

Buenos dias.
Muchas gracias por tu respuesta, pero no es correcta. Supongo que el dibujo puede crear esta confusion. Mea culpa.
la recta i no es perpendicular a h1
la recta a no es perpendicular a h1

Adjunto otro dibujo acentuando esto, aunque la realidad es mas aproximado al primero.
La solucion es \( h=9.048098 \)

[Luis Fuentes]

Hola

 En el dibujo del PDF has cambiado los nombres de \( a \) y \( c \) (es indiferente pero puede ser confuso). Yo mantengo la notación de el dibujo que has subido al foro en el anterior mensaje.

 Entonces por el Teorema de Pitágoras:

 \( a^2+b^2=h^2 \)

 Por el Teorema del coseno:

 \( i^2=h^2+b^2-2*b*h*Cos(\alpha) \)

 Despejando \( b \) en la primera ecuación y susituyendo en la segunda queda:

\(  i^2=2h^2-a^2-2hcos(\alpha)\sqrt{h^2-a^2} \)

 Elevando al cuadrado, haciendo cuentas y bla bla bla... queda una ecuación bicuadrada:

\( 4h^4sin^2(\alpha)-4h^2(a^2sin^2(\alpha)+i^2)+(a^2+i^2)^2=0 \)

 Y finalmente:

\(  h^2=\dfrac{(a^2sin^2(\alpha)+i^2)\pm \sqrt{(a^2sin^2(\alpha)+i^2)^2-sin^2(\alpha)(a^2+i^2)^2}}{2sin^2(\alpha)} \)

Saludos.

[Arnedo]

Lo siento pero no me sale. Con esta formula el resutado de h es 9.43742 y deberia de ser 9.0481

Yo llegaba a esta formula \(  i^2=2h^2-a^2-2hcos(\alpha)\sqrt{h^2-a^2} \) pero no se resolver la parte de \( -2hcos(\alpha)\sqrt{h^2-a^2} \)

Entiendo que se multiplica todo al cuadrado para eliminar la raiz......

[Luis Fuentes]

Hola

Lo siento pero no me sale. Con esta formula el resutado de h es 9.43742 y deberia de ser 9.0481

Revisa las cuentas. A mi con la fórmual que he escrito y para \( a=1.0311 \), \( i=2.355059 \), \( \alpha=15^o=15*Pi/180 \) radianes me sale \( h=9.0481 \).

Aquí lo tienes hecho en Mathematica:

Yo llegaba a esta formula \(  i^2=2h^2-a^2-2hcos(\alpha)\sqrt{h^2-a^2} \) pero no se resolver la parte de \( -2hcos(\alpha)\sqrt{h^2-a^2} \)

Aisla la raíz a un lado de la ecuación:

\( 2hcos(\alpha)\sqrt{h^2-a^2}=2h^2-a^2-i^2 \)

y eleva ambos miembros al cuadrado:

\( 4h^2cos(\alpha)^2(h^2-a^2)=(2h^2-a^2-i^2)^2 \)

Luego hay que hacer cuentas.

Saludos.

[Arnedo]

Ahora me ha salido. Muchas gracias.

Puedo preguntarte como hemos pasamoos de cos(x) a sin(x).
Soy bastante cabezota y no me conformo con la formula, me gustaria desarrollar la formula por mi mismo.


Muchas gracias otra vez