[Javi Swim]

Buenas.

Me lío mucho con estos ejercicios y me gustaría saber cómo hacerlos, porque ni veo ejemplos. Estoy intentando hacer este:

Sea \( p: \mathbb C \setminus \{0, \pm{i},\pm{i \sqrt{2}}\} \rightarrow \mathbb C \setminus \{0,1\} \) dada por \( p(z)=(z^2+1)^2 \).

Demuestra que es recubridora. Calcula aut(p).

Ayuda porfis.

[Fallen Angel]

Tienes que considerar un abierto genérico \( U \subseteq \mathbb{C}\backslash \{0,1\} \) y probar que la contraimagen es una unión disjunta de abiertos \( V_{i}\subseteq \mathbb{C}\backslash \{0,\pm i, \pm i\sqrt{2}\}  \), tales que tu aplicación restringida a cada uno de esos abiertos es un homeomorfismo, es decir, continua y biyectiva.

En este caso concreto tienes que tener cuidado con los abiertos del plano complejo que contengan a 0 ó 1 , pero fíjate que precisamente las contraimágenes de éstos puntos no están en tu espacio de partida.

No sé a qué te refieres con aut(p).

Un saludo!

[Javi Swim]

Hola. Muchas gracias Fallen Angel.

Tienes que considerar un abierto genérico \( U \subseteq \mathbb{C}\backslash \{0,1\} \) y probar que la contraimagen es una unión disjunta de abiertos \( V_{i}\subseteq \mathbb{C}\backslash \{0,\pm i, \pm i\sqrt{2}\}  \), tales que tu aplicación restringida a cada uno de esos abiertos es un homeomorfismo, es decir, continua y biyectiva.

Sí, esta es la definición de espacio recubridor, que leí mil veces, pero no veo bien cómo encontrar los abiertos.

En este caso concreto tienes que tener cuidado con los abiertos del plano complejo que contengan a 0 ó 1 , pero fíjate que precisamente las contraimágenes de éstos puntos no están en tu espacio de partida.

Hago \( y= (z^2+1)^2 \) y tengo \( z= \pm \sqrt{y^2-1} \). Para \( y=0 \) tengo \( z= \pm i \) y para \( y=1 \) tengo \( z=0 \), que son puntos que no aparecen en el dominio, y no e dan problemas. Es por eso, ¿no?

No sé a qué te refieres con aut(p).

Grupo de los automorfismos.

[Fallen Angel]

Has despejado mal.

\( y=(z^{2}+1)^{2}\Rightarrow z=\pm\sqrt{\pm \sqrt{y}-1} \)

Un abierto en tu espacio de llegada es del tipo \( B(a,r):=\{z\in \mathbb{C}\ : \ |z-a|^{2}<r \} \)
Estos abiertos pueden contener al 0 o al 1 pero no cambia esencialmente nada, simplemente la bola perforada sería tu abierto.

Ahora \( p^{-1}(B(a,r))=\{y \in \mathbb{C}\backslash \{0, \pm i , \pm i \sqrt{2}\} \ : \ |\pm\sqrt{\pm \sqrt{y}-1}-a|^2 < r\} \)

Ahora tienes que ver "que pinta" tienen estos conjuntos, por ejemplo, si \( a=0, \ r=1 \) ( esto no prueba nada es solo para hacernos una idea)

\( p^{-1}(B(0,1))=\{y \in \mathbb{C}\backslash \{0, \pm i , \pm i \sqrt{2}\} \ : |\pm \sqrt{\pm \sqrt{y}-1}|^2 < 1\} \)
¿Puedes expresar estos puntos como unión de abiertos disjuntos? ¿Podrías extender esto mismo para a y r cualesquiera?

Sigo sin entender lo del grupo de automorfismos, no tienes dos extensiones de un cuerpo. ¿Qué definición tienes para el grupo de automorfismos de un polinomio?

[Luis Fuentes]

Hola

Sigo sin entender lo del grupo de automorfismos, no tienes dos extensiones de un cuerpo. ¿Qué definición tienes para el grupo de automorfismos de un polinomio?

Es el grupo de automorfismos del recubrimiento. Se trata del grupo  homeomorfismos \( \phi \) de \( \mathbb C \setminus \{0, \pm{i},\pm{i \sqrt{2}}\} \) tal es que \( p\circ \phi=p. \)

Tales automorfismos actúan sobre la fibra de un punto permutando sus elementos.

Saludos.

[Javi Swim]

Muchas gracias!

Ahora \( p^{-1}(B(a,r))=\{y \in \mathbb{C}\backslash \{0, \pm i , \pm i \sqrt{2}\} \ : \ |\pm\sqrt{\pm \sqrt{y}-1}-a|^2 < r\} \)

Ahora tienes que ver "que pinta" tienen estos conjuntos, por ejemplo, si \( a=0, \ r=1 \) ( esto no prueba nada es solo para hacernos una idea)

\( p^{-1}(B(0,1))=\{y \in \mathbb{C}\backslash \{0, \pm i , \pm i \sqrt{2}\} \ : |\pm \sqrt{\pm \sqrt{y}-1}|^2 < 1\} \)
¿Puedes expresar estos puntos como unión de abiertos disjuntos? ¿Podrías extender esto mismo para a y r cualesquiera?

Vale, hasta ahí veo bien. Ahora lo de los abiertos.  Tengo que \( p^{-1}(B(0,1)) \) es una bola abierta, pero no lo pongo como unión de otros abiertos. Y luego por definición tengo que ver una aplicación que restringida a los abiertos sea continua y biyectiva  ¿De dónde saco la aplicación? ¿Me vale como abierto la bola?

Es el grupo de automorfismos del recubrimiento. Se trata del grupo  homeomorfismos \( \phi \) de \( \mathbb C \setminus \{0, \pm{i},\pm{i \sqrt{2}}\} \) tal es que \( p\circ \phi=p. \)

Pero como no tengo \( \phi \) porque la tengo que obtener no sé cómo hacer esa composición ni nada y estoy perdido...

Un saludo a los dos.

[Luis Fuentes]

Hola

Ahora \( p^{-1}(B(a,r))=\{y \in \mathbb{C}\backslash \{0, \pm i , \pm i \sqrt{2}\} \ : \ |\pm\sqrt{\pm \sqrt{y}-1}-a|^2 < r\} \)

Ahora tienes que ver "que pinta" tienen estos conjuntos, por ejemplo, si \( a=0, \ r=1 \) ( esto no prueba nada es solo para hacernos una idea)

\( p^{-1}(B(0,1))=\{y \in \mathbb{C}\backslash \{0, \pm i , \pm i \sqrt{2}\} \ : |\pm \sqrt{\pm \sqrt{y}-1}|^2 < 1\} \)
¿Puedes expresar estos puntos como unión de abiertos disjuntos? ¿Podrías extender esto mismo para a y r cualesquiera?

Vale, hasta ahí veo bien. Ahora lo de los abiertos.  Tengo que \( p^{-1}(B(0,1)) \) es una bola abierta, pero no lo pongo como unión de otros abiertos. Y luego por definición tengo que ver una aplicación que restringida a los abiertos sea continua y biyectiva  ¿De dónde saco la aplicación? ¿Me vale como abierto la bola?

Ahí, Fallen Angel cometió un pequeño error. Sería:

\( p^{-1}B(a,r)=\{z\in \mathbb{C}\setminus \{0,\pm i,\pm i\sqrt{2}\}|(z^2+1)^2-a|<r\} \)

Es el grupo de automorfismos del recubrimiento. Se trata del grupo  homeomorfismos \( \phi \) de \( \mathbb C \setminus \{0, \pm{i},\pm{i \sqrt{2}}\} \) tal es que \( p\circ \phi=p. \)

Pero como no tengo \( \phi \) porque la tengo que obtener no sé cómo hacer esa composición ni nada y estoy perdido...

Ese \( \phi \) tiene que ser una aplicación que intercambie puntos de \( \mathbb C \setminus \{0, \pm{i},\pm{i \sqrt{2}}\} \) tengan la misma imagen por \( p \). Por ejemplo \( \phi(z)=-z \).

Un comentario válido para las dos cuestiones: no estoy seguro de que resultados has dado sobre cubiertas y en particular cubiertas de abiertos complejos El comprobar estas cosas totalmente a mano sin ningún resultado un poco más fuerte que nos ayude sule ser bastante teidoso.

Saludos.

[Javi Swim]

Gracias!

Ahí, Fallen Angel cometió un pequeño error. Sería:

\( p^{-1}B(a,r)=\{z\in \mathbb{C}\setminus \{0,\pm i,\pm i\sqrt{2}\}|(z^2+1)^2-a|<r\} \)

Ok. ¿Me ayudas con lo de los abiertos? De ahí saco la bola de centro \( (z^2+1)^2 \) y radio \( r \) pero no creo que sea eso lo que me piden.

Ese \( \phi \) tiene que ser una aplicación que intercambie puntos de \( \mathbb C \setminus \{0, \pm{i},\pm{i \sqrt{2}}\} \) tengan la misma imagen por \( p \). Por ejemplo \( \phi(z)=-z \).

Un comentario válido para las dos cuestiones: no estoy seguro de que resultados has dado sobre cubiertas y en particular cubiertas de abiertos complejos El comprobar estas cosas totalmente a mano sin ningún resultado un poco más fuerte que nos ayude sule ser bastante teidoso.

He encontrado en mis apuntes que \( \pi_1(X)=aut(\bar X \rightarrow X) \) (\( \pi_1 \) lo denoto como grupo fundamental). Así que en este caso creo que sería entonces los automorfismos el grupo fundamental de \( \mathbb C \setminus \{0,1\} \), que creo que es \( \mathbb Z \). ¿Ando por el buen camino?

[Fallen Angel]

Perdón por el error.

Vayamos por partes, primero, no tienes que buscar una aplicación que sea biyectiva restringida a los abiertos fundamentales, tienes que comprobar que la aplicación que te dan, p, restringida a esos abiertos es biyectiva y continua, pero como dice el_manco, calcular éstos abiertos a mano y comprobarlo uno por uno sin utilizar algún otro resultado es muy pesado.

Por otra parte  \( \pi_{1}(\mathbb{C}\setminus \{0,1\})\cong \mathbb{Z}^{2} \)
Intuitivamente estamos "contando" el número de vueltas que da un lazo alrededor de cada "agujero" (el 0 y el 1) donde el signo indica la orientación.
Más formalmente puedes utilizar el Teorema de Seifert-Van Kampen (no sé si lo conoces) tomando como abiertos \( U=\{z\in \mathbb{C}\setminus \{0,1\} \ : \ Re(z)<3/4\} \) y \( V=\{z\in \mathbb{C}\setminus \{0,1\} \ : \ Re(z)>1/4\} \) por ejemplo, así su intersección será simplemente conexa y cada uno de los abiertos \( U,V \) es homeomorfo a \( \mathbb{C}\setminus \{0\} \).

Un saludo.

[Javi Swim]

Perdón por el error.

Vayamos por partes, primero, no tienes que buscar una aplicación que sea biyectiva restringida a los abiertos fundamentales, tienes que comprobar que la aplicación que te dan, p, restringida a esos abiertos es biyectiva y continua, pero como dice el_manco, calcular éstos abiertos a mano y comprobarlo uno por uno sin utilizar algún otro resultado es muy pesado.

Teniendo los abiertos para ver que homeomorfismo basta usar el teorema de la función inversa porque \( p'(z)=4z(z^2+1) \) y el abierto que tome debe cumplir que \( z \neq{0} \) y \( z\neq{\pm{1}} \), ¿no?

Por otra parte  \( \pi_{1}(\mathbb{C}\setminus \{0,1\})\cong \mathbb{Z}^{2} \)
Intuitivamente estamos "contando" el número de vueltas que da un lazo alrededor de cada "agujero" (el 0 y el 1) donde el signo indica la orientación.
Más formalmente puedes utilizar el Teorema de Seifert-Van Kampen (no sé si lo conoces) tomando como abiertos \( U=\{z\in \mathbb{C}\setminus \{0,1\} \ : \ Re(z)<3/4\} \) y \( V=\{z\in \mathbb{C}\setminus \{0,1\} \ : \ Re(z)>1/4\} \) por ejemplo, así su intersección será simplemente conexa y cada uno de los abiertos \( U,V \) es homeomorfo a \( \mathbb{C}\setminus \{0\} \).

Sí, había visto el teorema.

Esto una duda para próximos ejercicios que haga, ¿el grupo fundamental de \( \mathbb C \) menos \( n \) puntos es \( \mathbb Z^n \)? ¿al de \( \mathbb R \) le ocurre lo mismo?

Muchas gracias!