Hola
Debemos elegir todas las tiradas en las que salen 1,2,3,4,5,6 en algún orden. Primero, elijamos los 6 dados que tendrán estos resultados. Hay \( \displaystyle\binom{8}{6} \) maneras de hacer esto. Para cada una de esas elecciones, variamos los resultados entre ellos: \( 6! \). Sobre los restantes dos dados no hay restricciones: \( 6^2 \).
Esté método de conteo no es correcto ya que se repiten casos. Por ejemplo la tirada 1,2,3,4,5,6,1,2 la habríamos considerado:
- Teniendo en cuenta que los 6 dados que hemos elegido para que salgan 1,2,3,4,5,6 en algún orden son los seis primeros
1,2,3,4,5,6,1,2.
- También teniendo en cuenta que los 6 dados que hemos elegido para que salgan 1,2,3,4,5,6 en algún orden son los seis últimos 1,2,
3,4,5,6,1,2.
Yo propongo dos posibilidades:
1) Contar los casos en los que NO aparecen todos los resultados mediante el principio de inclusión-exclusión.
- Si escogemos un resultado tenemos \( 5^8 \) tiradas posibles donde no sale ese resultado. Hay seis formas de escoger el resultado excluído por tanto en total \( 6\cdot 5^8 \).
- Pero así hemos contado dos veces los casos en los que excluímos dos resultados. Los descontamos. Hay \( \displaystyle\binom{6}{2} \) formas de elegir los dos resultados excluídos y \( 4^8 \) los posibles resultados. En total: \( \displaystyle\binom{6}{2}\cdot 4^8 \).
- Pero ahora hemos descontado dos veces los casos en los que excluímos tres resultados...
- Reiterando llegamos a:
\( 6\cdot 5^8-\displaystyle\binom{6}{2}4^8+\displaystyle\binom{6}{3}3^8-\displaystyle\binom{6}{4}2^8+\displaystyle\binom{6}{5}1^8=1488096 \)
Los casos en los que SI aparecen todos los resultados serían el total de casos menos los anteriores:
\( 6^8-1488096=191520 \)
2) Otra forma directa es la siguiente. Si aparecen todos los resultados:
- O bien aparecen los seis números y uno de ellos repetido tres veces.
- O bien aparecen los seis números y dos de ellos repetidos dos veces.
Para los primeros hay seis opciones para elegir el número repetido. Por cada uno de ellos los posibles resultados son permutaciones con repetición de \( 8 \) elementos de los cuales uno se repite tres veces:
\( 6\cdot PR_{8;3}=6\cdot \dfrac{8!}{3!} \)
Para los segundos hay \( \displaystyle\binom{6}{2} \) para elegir los números repetidos. Por cada uno de ellos los posibles resultados son permutaciones con repetición de \( 8 \) elementos de los cuales dos se repiten dos veces:
\( \displaystyle\binom{6}{2}\cdot PR_{8;2,2}=\displaystyle\binom{6}{2}\cdot \dfrac{8!}{2!2!} \)
En total:
\( 6\cdot PR_{8;3}=6\cdot \dfrac{8!}{3!}+\displaystyle\binom{6}{2}\cdot \dfrac{8!}{2!2!}=191520 \)
Saludos.
