[mcf]

Hola, no sé como puedo realizar este ejercicio. ¿Me podríais ayudar?
Sea X una variable aleatoria con función de densidad \( f(x):= \displaystyle\frac{1}{4} e^{-\sqrt[ ]{|x|} \), \( \forall{x}\in{\mathbb{R}} \). Entonces:
a) \( \forall{a>0} \) hallar\( E(|X|^{a}) \). (Sé como calcularlo mediante la integral, pero no me salen los cálculos)
b)¿ Para cada \( n\in{\left\{{0,1,2,3...}\right\}} \) es \( X^n \) una variable aleatoria integrable?
c)Para cada \( n\in{\left\{{0,1,2,3...}\right\}} \) calcular \( E(X^{n}) \).
Gracias por la ayuda
Saludos

[Fernando C.]

Hola!!

Espero poder ayudarte.

a) El valor esperado de \( \left |{X}\right |^a \) es

\( E(\left |{X}\right |^a)=\displaystyle\frac{1}{4}\cdot{\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\left |{x}\right |^a\cdot{e^{-\sqrt[ ]{\left |{x}\right |}}}}dx \)

por ser el integrando una función par, se cumple que

\( E(\left |{X}\right |^a)=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}}x^a\cdot{e^{-\sqrt[ ]{x}}}dx \)

hacemos el cambio de variable \( t=x^{1/2} \), de donde se deduce que \( x=t^2 \) y \( dx=2tdt \). Sustituyendo en la integral nos queda

\( E(\left |{X}\right |^a)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}t^{2a+1}\cdot{e^{-t}}dt \)

que se corresponde con la conocida función gamma definida como

\( \gamma(p)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}t^{p-1}\cdot{e^{-t}}dt=(p-1)! \)

por tanto, la esperanza es

\( E(\left |{X}\right |^a)=\gamma(2a+2)=(2a+1)! \)

c)  Para \( n=0 \) es evidente que la variable \( X^0 \) es constante e igual a 1 por lo que su esperaza será también igual a la unidad.

En el caso de ser \( n\neq{0} \) debemos tener en cuenta que \( n \) sea par o impar.

Si \( n \) es par resulta que

\( E(X^n)=\displaystyle\frac{1}{4}\cdot{\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}x^n\cdot{e^{-\sqrt[ ]{\left |{x}\right |}}}dx} \)

y la función del integrando vuelve a ser par. El valor de dicha integral se halla de forma similar a la del caso (a), y su valor es \( \gamma(2n+2)=(2n+1)! \).

Si por el contrario es \( n \) impar, la función que obtenemos en el integrando de la esperanza es una función impar, cuyo valor es cero por ser los límites de integración iguales y de signo contrario.

La respuesta al apartado (b) es que la variable aleatoria \( X^n \) es integrable para todo \( n \) porque su esperanza matemática existe siempre.

Saludos!!.