Hola!!. Espero ayudarte
a) Suponemos que la variable \( X \) toma los valores \( x_1,x_2,\ldots,x_n \) con probabilidades respectivas \( p_1,p_2,\ldots,p_n \) tal que \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{p_i}=1 \), entonces
\( E(X^+)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}(1-F(x))dx \) es la suma de las áreas de \( n \) rectángulos de bases
\( x_1-0, x_2-x_1,\ldots,x_i-x_{i-1},\ldots,x_n-x_{n-1} \)
y alturas respectivas
\( 1-F(0), 1-F(x_1),\ldots,1-F(x_{i-1}),\ldots,1-F(x_{n-1}) \),
siendo
\( F(0)=0, F(x_1)=p_1, F(x_2)=p_1+p_2,\ldots, F(x_{n-1})=1-p_n \)
entonces
\( \displaystyle\int_{0}^{\infty}(1-F(x))dx=x_1+(x_2-x_1)\cdot{(1-p_1)}+(x_3-x_2)\cdot{(1-p_1-p_2)+\ldots+(x_{n-2}-x_{n-1})\cdot{(1-p_1-p_2-\ldots-p_{n-1})}
+(x_n-x_{n-1})\cdot{p_n}} \)
agrupamos los términos que tengan el mismo \( x_i \)
\( x_1\cdot{[1-(1-p_1)]+x_2\cdot{[(1-p_1)-(1-p_1-p_2)]}+\ldots+x_{n-1}\cdot{[(1-p_1-\ldots-p_{n-2})-(1-p_1-p_2-\ldots-p_{n-1})]}+x_n\cdot{p_n}} \)
y obtenemos finalmente
\( \displaystyle\int_{0}^{\infty}(1-F(x))dx=x_1\cdot{p_1}+x_2\cdot{p_2}+\ldots+x_{n-1}\cdot{p_{n-1}+x_n\cdot{p_n}}=\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i\cdot{p_i}}=E(X^+) \)
Si extendemos el estudio a una sucesión de variables \( X_1,X_2,\ldots,X_n \) que converjan a \( X \) entonces se puede extender el resultado a una variable aleatoria continua con función de distribución \( F \) tal que \( F_n(x)\longrightarrow{F} \).
El apartado (b) es muy parecido sólo que las bases de los rectángulos serían \( x_2-x_1, x_3-x_2, x_4-x_3,\ldots,x_n-x_{n-1}, 0-x_n \) y sus alturas respectivas \( p_1, p_1+p_2, p_1+p_2+p_3, \ldots,1-p_n, 1 \).
Saludos.
