Haber si alguien me ayuda con esto.
Primero que nada el numero de Stirling del primer tipo cuenta la cantidad de maneras en que se pueden sentar m personas en n mesas circulares de manera que ninguna mesa quede vacía. Esto es la cantidad de maneras que tenemos para formar n ciclos distintos con m objetos también diferentes.
Me piden demostrar lo siguiente:
Para \( m>2, \begin{bmatrix}{m}\\{m-2}\end{bmatrix} \) donde esto simboliza el numero de Stirling del primer tipo. Tengo que demostrar que es igual a:
\( \displaystyle\frac{1}{24} m(m-1)(m-2)(3m-1) \)
Lo hice y me salio pero no entiendo una parte de lo que hice ya que me quedo así porque me di cuenta de que era lo que me faltaba para llegar al resultado.
Partí diciendo que para la expresión que me dan tengo dos casos posibles:
• 3 personas sentadas en una misma mesa
• 2 mesas con 2 personas
Entonces para el caso de las 3 personas hago \( \displaystyle\binom{m}{3}2! \) donde el 2! serian las permutaciones posibles que tengo por las 3 personas por cada mesa.
Pero mi problema llega en el segundo caso, cuando tengo 2 mesas con 2 personas y el resto con 1, quedando \( \displaystyle\binom{m}{2} \displaystyle\binom{m-2}{2}\displaystyle\frac{1}{2} \).
No entiendo porque multiplico a las combinaciones de 2 personas por mesas por las otras 2 personas por mesa por la mitad, yo lo hice porque me di cuenta que gracias a esto llego a la solución pero no entiendo el porque.
Si alguien se da cuenta porque es y es tan amable de explicármelo le estaré muy agradecido.
Saludos
