[pepeChur]

Tengo el siguiente ejercicio:

Me piden explicar con un argumento combinatorio la igualdad siguiente (\( n\geq{r}\geq{2} \)):

\( \displaystyle\binom{n+2}{r} = \displaystyle\binom{n}{r} + 2\displaystyle\binom{n}{r-1} + \displaystyle\binom{n}{r-2} \)

Luego me piden que explique con argumentos combinatorios tambien la convolucion de Vandermonde:

\( \displaystyle\binom{m+n}{r} = \displaystyle\binom{m}{0}\displaystyle\binom{n}{r} + \displaystyle\binom{m}{1}\displaystyle\binom{n}{r-1} + \displaystyle\binom{m}{2}\displaystyle\binom{n}{r-2} + ... + \displaystyle\binom{m}{r}\displaystyle\binom{n}{0} = \displaystyle\sum^{r}_{\substack{k=0}} \displaystyle\binom{m}{k}\displaystyle\binom{n}{r-k} \)

¿Alguna idea?

[Juan Pablo Sancho]

Para el primero:

Del conjunto de \(  n+2  \) elementos quito dos elementos cualesquiera, \(  t_1 ,t_2  \).

De los \(  n  \) elementos  hago todos los subconjuntos de \(  r  \) elementos, Designemos por \(  A  \) este conjunto de subconjuntos de \(  r  \) elementos cada uno .

De los \(  n  \) elementos  hago todos los subconjuntos de \(  r - 1  \) elementos, Designemos por \(  B  \) este conjunto de subconjuntos donde he puesto \(  t_1  \) en cada uno de los subconjuntos.


De los \(  n  \) elementos  hago todos los subconjuntos de \(  r - 1  \) elementos, Designemos por \(  C  \) este conjunto de subconjuntos donde pongo t_2 en cada uno de los subconjuntos.

De los \(  n  \) elemntos   hago todos los subconjuntos de \(  r - 2  \) elementos, Designemos por \(  D  \) este conjunto de subconjuntos donde pongo t_2 ,t_1 en cada uno de los subconjuntos.

Tenemos que \(  \{ A ,B ,C ,D \}  \) es una partición del conjunto de subconjuntos de \(  r  \) elementos de un  conjunto de \(  n + 2  \) elementos.


Espero que esté bién.

[Juan Pablo Sancho]

Tomo el conjunto de \(  m+n  \) y hago todos los subconjunto de  \(  r  \) elementos.

Sea \(  A_i  \) Los subconjuntos de \(  r  \) elementos tal que \(  i  \) de esos elementos están en los \(  m  \) elementos.

Sea \(  A  \) el conjunto de subconjuntos de  \(  r  \) elementos  tomado de un conjunto de \(  m+n  \).

Tenemos que \(  A = \cup_{i=0}^r  A_i  \) donde \(  \{ A_0 , A_1 \cdots A_n \}  \) es una partición.

Tenemos  \(  |A_i| = { m \choose i} \cdot { n \choose r-i }  \) .

Espero que esté bién.

[pepeChur]

Muchas gracias me quedo bastante mas claro.