[Jpalbae]

Hola,

Llevo días intentando buscar algo más de información o ejemplos gráficos-aritméticos para entender las ecuaciones 2.1 a 2.3 de la primera página del artículo que aparece en la 1ª imagen adjunta.

La ecuación 2.2 expresa la probabilidad del tiempo en que se da la observación v de un valor extremo:
\( P(E_v^t)=P\{\tau(v)\le t\}-P\{\tau(v+1)\le t\} \),

Pero según entiendo, y como demuestro en la 2ª figura adjunta, creo que debería expresarse así:

\( P(E_v^t)=P\{\tau(v+1)\le t\}-P\{\tau(v)\le t\} \),

También es verdad que la probabilidad puede ser la misma pero con signo opuesto, es decir, si P(a)-P(b)= 10-7 = 3, P(b)-P(a) = 7-10=-3. Pero esto no sería tan lógico bajo mi punto de vista, ya que se espera una probabilidad absoluta, positiva o nula.

¿qué creen ustedes?, aunque lo dudo, ¿podría ser un error del escritor?, ó, ¿podrían demostrarme de forma sencilla, aritmética, y si es posible gráfica (cómo el esquema de paint que he subido) la ecuación para
que lo entienda?

Muchas gracias.

[Asdrúbal Beltrán]

Bueno no entiendo mucho sobre el tema, pero supongo lo siguiente: creo que si en un intervalo de tiempo calculamos la probabilidad  de observar la ocurrencia de un suceso, esta probabilidad debe ser mayor, que la probabilidad a observar en ese mismo intervalo de tiempo, más de una ocurrencia del mismo suceso, es decir si se mantiene el intervalo de tiempo constante la probabilidad de hacer más observaciones decrece y por lo tanto la formula del artículo estará bien definida.


Por otro lado en la gráfica que haces debes notar que \( \displaystyle\int_{0}^{\infty}\tau{(v)}\,dv=\infty \), y según la definición de función de densidad debería ser igual a 1.

saludos

[Luis Fuentes]

Hola

La ecuación 2.2 expresa la probabilidad del tiempo en que se da la observación v de un valor extremo:
\( P(E_v^t)=P\{\tau(v)\le t\}-P\{\tau(v+1)\le t\} \),

Pero según entiendo, y como demuestro en la 2ª figura adjunta, creo que debería expresarse así:

\( P(E_v^t)=P\{\tau(v+1)\le t\}-P\{\tau(v)\le t\} \),

También es verdad que la probabilidad puede ser la misma pero con signo opuesto, es decir, si P(a)-P(b)= 10-7 = 3, P(b)-P(a) = 7-10=-3. Pero esto no sería tan lógico bajo mi punto de vista, ya que se espera una probabilidad absoluta, positiva o nula.

Ten en cuenta que definien:

\( E_v^t=\{\tau(v)\leq t<\tau(v+1)\} \)      (2.1)

Entonces tu te estás confundiendo con esta situación. Cuando tienes una variable aleatoria \( X \) se tiene que:

\( P(a\leq X<b)=P(X<b)-P(X\leq a) \)

Pero en realidad en la expresión (2.1) tienes dos variables aleatorias \( X=\tau(v) \) e \( Y=\tau(v+1) \). En realidad es por tanto:

\( P(E_v^t)=P(X\leq t<Y)=P((X\leq t)\cap (t<Y))= \)

\( =P(X\leq t)+P(t<Y)-P((X\leq t)\cup (t<Y)) \)

(ahí hemos usado que \( P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B) \))

Ahora observa que \( (X\leq t)\cup (t<Y) \) es el suceso seguro ya que por hipótesis \( X=\tau(v)<Y=\tau(v+1) \). Por tanto si \( X>t \) entonces \( Y>X>t \).

Te queda entonces:

\( P(E_v^t)=P(X\leq t)+P(y<Y)-1=P(X\leq t)-(1-P(t<Y))= \)

\( =P(X\leq t)-P(Y\leq t) \)

Saludos.

[Jpalbae]

Muchísimas gracias por vuestra ayuda kike y el_manco.
Les dejo también este enlace donde obtuve una respuesta relacionada con la de el_manco.

http://math.stackexchange.com/questions/812751/probability-between-two-times-points

Yo pensaba que la notación hacía referencia a la misma variable aleatoria evaluada en v y en v+1. Es lo que tengo que distinguir ahora, cuando las notaciones nos indican una variable aleatoria o varias.