[mcf]

¡Hola a todos!
Necesito ayuda con este ejercicio, he conseguido realizar la primera parte a), pero no sé cómo sacar la segunda:

Sean {\( A_{n}: n\in{\mathbb{N}} \)} y {\( B_{m}: m\in{\mathbb{N}} \)} dos particiones del conjunto \( \Omega \). Demostrar:

a) {\( A_{n}\cap{B_{m}:n,m\in{\mathbb{N}} \)} es una partición de \( \Omega \).
b) Si C={\( A_{n}\cap{B_{m}:n,m\in{\mathbb{N}} \)}, A={\( A_{n}:n\in{\mathbb{N}} \)} y B={\(  B_{m}:m\in{\mathbb{N}} \)}, entonces \( \sigma \)(C)=\( \sigma(A\cup{B}) \).

Gracias por la ayuda! 

[numbsoul]

\( \sigma(A\cup B) \) es una sigma-álgebra que contiene a \( A_{n}\cap B_{m} \) para todo \( n,m \). Como \( \sigma(C) \) es la más chica que cumple eso, se tiene que \( \sigma(C)\subseteq \sigma(A\cup B) \).

Para demostrar la otra contención, tan solo observar que \( A_{n}=A_{n}\cap \Omega=A_{n}\cap (\bigcup_{m}B_{m})=\bigcup_{m}A_{n}\cap B_{m}\in \sigma(C) \) ( y lo mismo con los \( B_{n} \))