[Danip]

Tengo un ejercicio resuelto que debo presentar delante de la clase para aprobar, os subo el ejercicio para quien quiera hacerlo a modo de 'divertimento' y en un spoiler mi resolución para que me comentéis si todo está correctamente, el nivel es de segundo de bachiller:

En  \( \mathbb{R}^3  \) se dan los vectores  \( \vec{u_1}= (2, 1, 0), \quad  \vec{u_2} = (0, 2, 1), \quad \vec{u_3} =(2, -1, -1), \quad\vec{u}_{\red 4}\black=(4, 0, 1) \)

1. Claramente estos 4 vectores son linealmente dependientes, por qué?
2. Cuantos de los 4 son linealmente independientes? Que relaciones de dependencia existen entre ellos?
3. Que subespacio de  \( \mathbb{R}^3  \) generan? Intrerprétalo geométricamente.


Mi resolución:

Spoiler

a) Al ser un espacio  \( \mathbb{R}^3  \), uno de los 4 vectores se puede escribir como combinación lineal de los otros 3 vectores.

b) Tres de los cuatro vectores son linealmente independientes porque el det( \( \vec{u_2}  \), \( \vec{u_3}  \), \( \vec{u_4}  \))  \( \neq{0}  \) de manera que la relación de dependencia es:

 \( \vec{u_1}  \) =  \( a_1\vec{u_2}  \) +  \( a_2\vec{u_3}  \) +  \( a_3\vec{u_4}  \) calculando esto me da:  \( a_1  \) = 1,  \( a_2  \)=1,  \( a_3  \)=0

c)El subespacio generado de acuerdo a la representación gráfica de los vectores es un plano.

[cerrar]

Un saludo.

[Fallen Angel]

a) y b) son correctas.

En cuanto a c), los 4 vectores, al ser 3 linealmente independientes generan todo el espacio \( \mathbb{R}^{3} \), son una base, si generasen un plano entonces no podrías encontras mas de dos linealmente independientes.

Un saludo!

[Danip]

Gracias por contestar Fallen Angel.

De hecho yo tuve cierta duda en el momento de resolver el apartado c) por lo que llegué a intuir que se refería a qué subespacio genera esa configuración de vectores. Como verás, el parámetro \( a_3 \) es 0, por lo que el vector 4 es como si no tuviera importancia. Si te fijas, los vectores 1 2 y 3 son coplanarios y acaban formando un plano entre ellos.

Esta es una imagen que hice con geogebra entendiendo el enunciado de este modo, a ver si ves mejor a lo que me refiero y me puedas corregir si me equivoco.

Un saludo y gracias!

[Fallen Angel]

Digamos que entonces la respuesta depende de la interpretación de la pregunta, efectivamente los vectores 1,2 y 3 generan un plano,tienes toda la razón, yo me refería a que los vectores 1,2,3 y 4 generan todo el espacio, depende de lo que entiendas que te preguntan.

Un saludo.

[feriva]

De hecho yo tuve cierta duda en el momento de resolver el apartado c)

 Hola, Danip. Como te dice Fallen Ángel debes interpretar que el subespacio generado es el propio espacio de \( \mathbb{R}^3 \). Esos dos vectores que eliges en la representación forman uno de los planos (familia de planos) entre los tres que puedes elegir; es arbitrario. Por tanto, no es "el subespacio", es "un subespacio". Pero además te preguntan claramente que qué subespacio forman los cuatro vectores, los cuatro sin faltar ninguno, la respuesta es la que da Fallen Ángel, interpretar otra cosa, como que pueda tratarse de un plano, iría asociado a un vector (linealmente independiente) menos de los que te dan como condición y no sería correcto.

 Saludos.