[Juan Pablo Sancho]

Sólo es un problema que estoy intentando no tiene prisa, solo quiero saber sí está bien y alguna sugerencia para mejorarlo.
Gracias por cualquier sugerencia.

Supóngase que es \(  f'(x) \geq M > 0  \) para todos los \(  x \in [0,1]  \). Demostrar que existe
un intervalo de longitud \(  \dfrac{1}{4}  \) en el que es \(  |f| \geq \dfrac{M}{4}  \).

Spoiler

Definimos \(  g(x) = f(x) - M \cdot x  \).
Como \(  g'(x) = f'(x) - M \geq 0  \) tenemos \(  g  \) es no decreciente.

Caso (1): \(  f(0) \leq 0  \).

      (1.1)  \(  g(x_0) = 0 \wedge x_0 \in [0,\dfrac{1}{2}]  \).
             \(  g(\dfrac{3}{4}) - g(x_0) \geq g(\dfrac{3}{4}) - g(\dfrac{1}{2}) = f(\dfrac{3}{4}) -\dfrac{3 \cdot M}{4} - f(\dfrac{1}{2}) + \dfrac{M}{2} =  \)
             \(  = (f(\dfrac{3}{4}) - f(\dfrac{1}{2})) -\dfrac{3 \cdot M}{4}  + \dfrac{2\cdot M}{4} = (f(\dfrac{3}{4}) - f(\dfrac{1}{2})) -  \dfrac{M}{4}  \).
             Tenemos que:
             \(   f(\dfrac{3}{4}) =  f(\dfrac{1}{2}) +  \dfrac{M}{4} \geq \dfrac{M}{4}   \).
             Por ser \(  f(\dfrac{1}{2})  \) positiva.
             \(  g(\dfrac{1}{2}) \geq g(x_0) =0  \).
             
        (1.2) \(  g(x_0) = 0 \wedge x_0 \in ]\dfrac{1}{2},1]  \).     
              Tenemos que en este caso \(  f(\dfrac{1}{2}) \leq 0  \) en consecuencia \(  -f(\dfrac{1}{2}) \geq 0  \)
              \(  -g(\dfrac{1}{4}) + g(x_0) \geq  -g(\dfrac{1}{4}) + g(\dfrac{1}{2}) = -f(\dfrac{1}{4})+\dfrac{M}{4} + f(\dfrac{1}{2}) -\dfrac{M}{2} =  \).
              \(  (-f(\dfrac{1}{4}) + f(\dfrac{1}{2})) -\dfrac{M}{4} \geq 0  \)
              \(  -f(\dfrac{1}{4})  \geq   -f(\dfrac{1}{2}))  +\dfrac{M}{4} \geq \dfrac{M}{4}  \).
             
        (1.3) \(  g \neq 0 \ \ \ \ \ \forall x \in [0,1]  \).
              \( -g(\dfrac{1}{4}) + g(1)>0  \) entonces:
              \(  -f(\dfrac{1}{4}) +\dfrac{M}{4} + f(1) - M >0  \).
              \(  -f(\dfrac{1}{4}) > \dfrac{3M}{4} - f(1) > \dfrac{3M}{4}  \)
             
caso (2): \(  f(0) > 0  \).
              \(  g(\dfrac{1}{4})= f(\dfrac{1}{4}) - \dfrac{M}{4} > 0  \).
   
 

[cerrar]

         

[Luis Fuentes]

Hola

 No he revisado los detalles pero la idea es buena. Creo sin embargo que puedes hacerlo algo más sencillo.

 Dado que \( f'(x)\geq M>0 \) tienes que \( f(x) \) es estrictamente creciente y además para \( x>y \):

 \( f(x)\geq f(y)+M(x-y) \) (ya que \( f(x)-f(y)=f'(c)(x-y)) \)

 Entonces:

 - Si \( f(1/4)\leq -\dfrac{M}{4} \) entonces por ser creciente \( |f(x)|\geq \dfrac{M}{4} \) para \( x\in [0,1/4] \).

 - Si \( f(1/4)>-\dfrac{M}{4} \) entonces:

\(  f(3/4)\geq f(1/4)+M(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4})\geq -\dfrac{M}{4}+\dfrac{2M}{4}=\dfrac{M}{4} \)

 y por tanto \( |f(x)|\geq \dfrac{M}{4} \) para \( x\in [3/4,1] \).

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Muchisimas gracias el_manco

[africamer]

Gracias a ambos, era medio dificil buscarlo porque es muy dificil ponerle un título muy descriptivo.
saludos!!