[Petra12]

Hola:

Tengo que probar las siguientes propiedades en el espacio topológico \( X \)

(i) si \( \sigma \) es un camino en \( X \) y \( h:[0,1]\longrightarrow{[0,1]} \) es continua, tal que \( h(0)=0 \) y \( h(1)=1 \), entonces \( \sigma\sim{\sigma\circ{h}} \)

(ii) si \( \sigma \) es un camino en \( X \) y \( h:[0,1]\longrightarrow{[0,1]} \) es continua, tal que \( h(0)=0  \) y \( h(1)=0 \), entonces \( \bar{\sigma}\sim{\sigma\circ{h}} \)

¿Cómo puedo empezar?

Muchas gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 (i) Considera la homotopía:

\(  f(t,s)=\alpha((1-s)h(t)+st) \)

 (ii) Considera la homotopía:

\(  f(t,s)=\alpha((1-s)h(t)+s(1-t)) \)

 Por cierto si no estás considerando homotopías relativas (que fijen quizá el punto inicial, o el final, o ambos) las hipótesis sobre el origen y final de \( h \) son innecesarias.

Saludos.

[Petra12]

Muchas gracias pero no sé como tengo que seguir... la profesora dijo que era muy fácil pero yo no lo veo...

Lo siento

[Luis Fuentes]

Hola

Muchas gracias pero no sé como tengo que seguir... la profesora dijo que era muy fácil pero yo no lo veo...

Es que con lo que te he indicado practicamente no tienes que "seguir". Simplemente tienes que ser consciente de que la homotopía que te he propuesto cumple lo que piden.

Dos caminos \( \sigma \) y \( \tau \) son homótopos si existe una homotopía que lleva el uno el otro, es decir si existe una aplicación continua:

\( f:[0,1]\times [0,1]\longrightarrow{}X \)

tal que:

\( f(t,0)=\alpha(t),\qquad f(t,1)=\tau(t) \)

(pudiera ser que en tu definción además te exijan que se mantengan fijo el punto inicial o final o ambos, es decir, que \( f(0,s)=cte \) ó \( f(1,s)=cte \))

En el aparatado (1) \( \tau(t)=(\tau\circ h)(t). \)

Saludos.

[Petra12]

Gracias, ya lo he entendido.

Ahora me piden que utilizando el apartado (i) demustre que \( \sigma \sim{\sigma_k*...*\sigma_1} \). Me dicen que para ello tengo que escribir \( \sigma \sim{\sigma_k*...*\sigma_1} \) y definir una aplicación \( h: [0,1]\longrightarrow{[0,1]} \), como en el apartado (i) que relacione los caminos \( \sigma \) y \( \sigma \sim{\sigma_k*...*\sigma_1} \)


Muchas gracias

[Luis Fuentes]

Hola

Ahora me piden que utilizando el apartado (i) demustre que \( \sigma \sim{\sigma_k*...*\sigma_1} \). Me dicen que para ello tengo que escribir \( \sigma \sim{\sigma_k*...*\sigma_1} \) y definir una aplicación \( h: [0,1]\longrightarrow{[0,1]} \), como en el apartado (i) que relacione los caminos \( \sigma \) y \( \sigma \sim{\sigma_k*...*\sigma_1} \)

Revisa lo que estás preguntando. ¿Quienes son \( \sigma_1,\ldots,\sigma_k \)?. ¿Cuál es exactamente la hipótesis y qué quieres probar?.

Saludos.