[dgz695]

Buenos días. Acabo de ver el Teorema de Gauss-Wantzel  de los eneágonos constructibles. Me ha surgido la siguiente duda:
¿Qué ocurre con el cuadrado?
Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

 No se exactamente que quieres decir con "¿qué ocurre?".

 El cuadrado si es constructible con regla y compás.

Saludos.

[dgz695]

Que 4 no verifica la fórmula \( 4=2^{m}*p_1*p_2*...*p_k,  m\in{\mathbb{N}} \) y los \( p_i \) primos de Fermat.

[Carlos Ivorra]

\( 4=2^2 \), con \( m=2 \) y \( k=0 \).

[dgz695]

Esa era la opción lógica. Gracias. De todas formas, en la demostración de la fórmula, ¿sabeis si se admite la opción k=0 o por el contrario se añade después -se demuestra por otro lado que el cuadrado es constructible, como caso especial- para dar mayor generalidad?.

[Carlos Ivorra]

Observa que el cuadrado no es la única "excepción" (que no es tal), porque también son constructibles los polígonos de 8, 16, 32 lados, etc.

Lo que se demuestra es que el polígono de n lados es constructible con regla y compás si y sólo si \( \phi(n) \) (la función de Euler) es potencia de 2. Ahora bien, si \( n=2^m n' \), con \( n' \) impar, sucede que \( \phi(n) = \phi(2^n)\phi(n') \) y \( \phi(2^n)= 2^{n-1} \), luego todo se reduce a que \( \phi(n') \) sea potencia de \( 2 \), incluyendo la posibilidad \( n'=1 \) (que se corresponde con \( k=0 \)). Luego se ve que si \( n'\neq 1 \), la condición necesaria y suficiente para que \( \phi(n') \) sea potencia de \( 2 \) es que se descomponga en producto de primos de Fermat sin repeticiones.