[mijail]

Buenas.

Como dice el título, el problema es encontrar alguna forma de calcular la multiplicación de dos variables binarias, sin multiplicarlas.

Tengo dos variables X e Y, binarias, tal que la tabla de la suma es:

X	Y	X+Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	2

La resta de estas variables es:

X	Y	X-Y
0	0	0
0	1	-1
1	0	1
1	1	0

Lo que quiero es alguna forma de calcular su multiplicación:

X	Y	X*Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Para esto, puedo usar sumas, restas, multiplicaciones con constantes y divisiones con constantes. Lo único que no puedo hacer es multiplicar directamente las dos variables. Estuve rompiéndome la cabeza por mucho tiempo y no encuentro la solución, ¿es que realmente se puede hacer algo así o no se puede?

Gracias por las respuestas!!

[Autodidacta]

No tengo muy claro lo que pides, ¿ las variables son de solo 1 dígito o de mas de un dígito ?, si son de mas digitos, diría que te falta especificar la forma de representar los números de mas de 1 dígito, cuando un numero es mayor que 1 ¿como se representa ? en las tablas has puesto números decimales por ejemplo el 2.
Si esto no importa porque el resultado de la multiplicación lo quieres en decimal, pues elije la misma representación posicional que se usa para los números decimales, y asi podrás usar el método  de multiplicación de toda la vida. Solo que es mas sencillo porque la tabla de multiplicar es mucho mas simple:
0x0=0
0x1=0
1x0=0
1x1=1
Asi que haz la multiplicación como si fuesen números decimales y listo.

Si lo que quieres es calcular la tabla de multiplicar a partir de las sumas, no le veo mucho sentido, esa tabla de multiplicar es directa debido a las propiedades de la suma y la multiplicación.

[mijail]

Las variables son específicamente binarias (\( X\in{0,1} \) e \( Y\in{0,1} \)) pero le estoy aplicando operaciones de número enteros, por eso en las tablas hay un 2 y un -1, y como digo en el título mi objetivo es no usar explícitamente X*Y, sino alguna otra forma que sólo use sumas, restas, multiplicaciones con constantes o divisiones con constantes. Entonces mi objetivo va por obtener alguna fórmula que calcule esa multiplicación. Es eso posible?

[Autodidacta]

La verdad es que sigo sin entender lo que pretendes, no le veo sentido, también sigo sin saber si quieres sumar números de mas de un dígito. Dices que no quieres usar multiplicaciones, pero eso implica no usar sumas con lo que no se puede hacer nada.
Es decir no quieres usar el hecho de que:
0x0=0
1x0=0
0x1=0
1x1=1
Pero es que:
0x0=0 es lo mismo que sumar 0 veces 0.
1x0=0 es lo mismo que sumar 1 vez 0
1x1=1 es lo mismo que sumar 1 vez 1
Y si no quieres usar esas sumas, pues no puedes hacer nada, como hacer una multiplicación si no puedes utilizar el conocimiento de lo que significa multiplicar ?
Es como si me dices, multiplica esto: 2x3, yo te pregunto que significa multiplicar, tu me dices, consiste en sumar 2 veces 3 o 3 veces 2, pero ojo no puedes usar este conocimiento para hacer esa multiplicación, tienes que multiplicarlas sin saber que significa multiplicar, es decir sin sumar 2 veces 3 o 3 veces 2. Pues así no se puede multiplicar nada.

[mijail]

Mi problema es específicamente centrarse en esos cuatro casos de las tablas, osea quiero una fórmula que sólo use, sumas restas, multiplicación por constantes o divisón por constantes (sólo esas operaciones) para que cuando tenga los valores: X=0 Y=0 el resultado sea 0, X=0 Y=1 el resultado sea 0, X=1 Y=0 el resultado sea 0 y X=1 Y=1 el resultado sea 1.

Quiero una fórmula en funcion a X e Y que me devuelva esos valores cuando se tengan esos 4 casos. Es esto posible?

[juangutierrezalva]

Aca una breve demostracion de que NO ES POSIBLE encontrar ese calculo

Supongamos que se puede encontrar la multiplicacion de dos numeros \( x, y \in \{0,1\} \)
de la forma descrita.

Entonces existen \( a_i, b_i \) tales que

\( x*y = a_1x+a_2x+\ldots+a_nxb_1y+\ldots+b_my \) 

Sea \( A \) la suma de los \( a_i \) y \( B \) la suma de los \( b_i \), claramente

\( x*y = Ax + By \).

Cuando \( x=0 \), \( y=1 \), \( 0 = A0+By  \)
Cuando \( x=1 \), \( y=0 \), \( 0 = Ax + B0 \)

Luego, \( A=B=0 \), pero si esto es asi, cuando \( x=1 \), \( y=1 \), tenemos que
\( 1= x*y = 0x + 0y = 0 \). Contradicción.

[Autodidacta]

Como ya han comentado no se puede, salvo que estés operando solo con números enteros (o admitas truncar el resultado para eliminar los decimales) en ese caso, la fórmula:

(X+Y)/2

Te daría el resultado que quieres.

[juangutierrezalva]

Una pregunta en abierto, que pasa si x, y \in {0,1,2} Que pasa si x, y \in {0,1,...,n}

Como ya han comentado no se puede, salvo que estés operando solo con números enteros (o admitas truncar el resultado para eliminar los decimales) en ese caso, la fórmula:

(X+Y)/2

Te daría el resultado que quieres.

[Autodidacta]

Lo siento no entiendo lo que preguntas.

[Luis Fuentes]

Hola

 juangutierrezalva y mijail: bienvenidos al foro.

 Recorddad leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 Por esta vez se han corregido algunas fórmulas dese la administración.

Saludos.