[mcf]

Hola, quería saber si me podríais ayudar con estos ejercicios:

1) Sean \( A,B \) y \( C \) tres sucesos independientes con probabilidad no nula tales que: \( A \) y \( B\cup C \) son independientes, \( A \) y \( B\cap C \) son independientes, \( B \) y \( A\cap C \) son independientes y, \( C \) y \( A\cap B \) son independientes. Demostrar que \( A,B \) y \( C \) son independientes.

2) Demostrar que los sucesos \( A\cap B \) y \( \overline{C}\cup (D\cap\overline{E}) \) son independientes, sabiendo que \( A,B,C,D \) y \( E \) son independientes.

Saludooos!  

[Juan Pablo Sancho]

¿ En el primer apartado no será ver que \(  A \cap B \cap C  \) son independientes?.

Las condiciones de inicio es la conclusión.

Otras cosas:

\(  A \cap B = A \cap B \cap ( C \cup C') = (A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap C')  \).

\(  P(A \cap B) = P((A \cap B \cap C))+P(A \cap B \cap C')  \)

\(  P(A \cap B) - P(A \cap B \cap C) = P(A \cap B \cap C')  \)

\(  P(A) \cdot P( B) - P(A \cap B) \cdot P( C) = P(A) \cdot P( B) - P(A) \cdot P( B) \cdot P( C) = \)
\(  = P(A) \cdot P( B)\cdot (1-P(C)) = P(A) \cdot P( B)\cdot P(C') = P(A \cap B \cap C')  \)

[mcf]

Perdón, tienes razón. Al principio del enunciado se dice que los 3 sucesos tienen probabilidad no nula, pero no que son independientes. Así que eso es lo que hay que probar, la independencia de \( A,B \) y \( C \)

[Luis Fuentes]

Hola

 1) Por la independencia de \( A \) y \( B\cup C \) y por las propidades de la probabilidad:

\(  P(A\cap (B\cup C))=P(A)P(B\cup C)=P(A)(P(B)+P(C)-P(B\cap C))=P(A)(P(B)+P(C))-P(A)P(B\cap C) \)

 Por otra parte:

\(  P(A\cap (B\cup C))=P((A\cap B)\cup (A\cap C))=P(A\cap B)+P(A\cap C)-P(A\cap B\cap C) \)

 Es decir igualando:

\( P(A)(P(B)+P(C))-P(A)P(B\cap C)=P(A\cap B)+P(A\cap C)-P(A\cap B\cap C) \) (*)

 Ahora por las otras tres hipóteis de independencia que tienes:

\(  P(A\cap B)=\dfrac{P(A\cap B\cap C)}{P(C)} \)

\(  P(A\cap C)=\dfrac{P(A\cap B\cap C)}{P(B)} \)

\(  P(B\cap C)=\dfrac{P(A\cap B\cap C)}{P(A)} \)

 Susituye en (*) y concluye.

Saludos.

P.D. Antes de ir con el (2), ¿qué definición estás usando de independencia para más de dos sucesos? ¿qué cada par de sucesos son indpendientes? ¿o qué cada subconjunto arbitario de sucesos tiene como probabilidad de la intersección el producto de intersecciones?.

[mcf]

Para el apartado 2) utilizo que cada subconjunto arbitrario de sucesos tiene como probabilidad  de la intersección el producto de las intersecciones.

[Luis Fuentes]

Hola

 Ten en cuenta (o pruébalo previamente) que si unos sucesos son indpendientes también lo son con sus complementarios.

 Entonces:

\(  P((A\cap B)\cap (\bar C\cup (D\cap \bar E)))=P((A\cap B\cap \bar C)\cup P(A\cap B\cap D\cap \bar E))= \)

\(  =P(A\cap B\cap C)+P(A\cap B\cap D\cap \bar E)-P(A\cap B\cap \bar C\cap D\cap \bar E) \)

 Por otra parte:

\(  P(\bar C\cup (D\cap \bar E))=P(\bar C)+P(D\cap \bar E)-P(\bar C\cap D\cap \bar E) \)

 Ahora usando la independencia sustituye probabilidades de intersecciones por producto de probabilidades y conlcuye.

Saludos.

[mcf]

Muchas gracias, me ha salido perfecto