[Michel]

Dibujar dos tangentes a una circunferencia dada, que formen un ángulo dado a.

[elcristo]

Hola.

Trazar la circunferencia.
Sobre ella, dibujar y prolongar un diámetro.
Sobre ese diámetro, a una distancia cualquiera, dibujar el ángulo (Nota, cuanto más obtuso el ángulo más cerca de la circunferencia recomiendo dibujarle)
Prolongar los lados del ángulo hasta que corten a la circunferencia.
Caso 1:
Corta en 2 puntos.
Hemos terminado.
Caso 2:
Corta en 4 puntos.
Con los 2 que están en un semiespacio, trazar un segmento. De ese segmento, calculamos su mediatriz. El punto de corte de esa mediatriz con la circunferencia es el punto de tangencia.
Repetir con los puntos del otro semiespacio.


Estos son los problemas que me gustan, me llevo un poquito sacarle pero lo logre 

Saludos.

[teeteto]

Aunque la solución la veo bien, debieras pulir algunos detalles para que quedara bien completa:

1º) ¿Cómo dibujas el ángulo sobre la prolongación del diámetro? ¿De cualquier forma? ¿De forma que uno de los lados del ángulo es el diámetro? ¿De forma que el diámetro es la bisectriz del ángulo?

2º) ¿Qué haces una vez que encuentras tus supuestos puntos de tangencia? ¿Trazas paralelas a los lados del ángulo? ¿Unes el vértice del ángulo con ellos?

3º) Puede cortar en 3 puntos.

Aprovecho para dar otra solución:

Paso 1: Elijo un punto cualquiera de la circunferencia (P) y lo uno con el centro de la misma (C).

Paso 2: Trazo una perpendicular (r) a PC que pase por P.

Paso 3: Sobre el punto C traslado el ángulo 90-a/2 de modo que uno de sus lados sea PC. El otro lado cortará a r en Q.

Paso 4: Con centro en Q y radio QP corto a la circunferencia en P'.

QP y QP' son las tangentes buscadas.

[elcristo]

Tienes razón, descuidé totalmente la formalidad.

1º)Dibujamos el ángulo de forma que la prolongación del diámetro sea bisectriz de dicho ángulo.

2º)Trazamos paralelas a los lados de los ángulos por los puntos de tangencia.

3º)No veo el caso de que pueda cortar en 3 puntos :S

Reescribo, aparte, el mensaje más formalizado.

Sea la circunferencia de centro A y radio dado.
Dibujamos una recta, r, cualquiera que pase por A.
Sobre dicha recta, a una distancia conveniente*, dibujamos el ángulo dado de tal forma que r sea bisectriz del ángulo.
Los lados de dicho ángulo generan 3 casos:
-Caso 1:
No cortan. En cuyo caso debemos dibujar el ángulo más cercano a la circunferencia.
-Caso 2:
Cortan en un dos puntos, uno en cada hemisferio definido por r. Entonces dichos puntos son los puntos de tangencia que buscamos, y las rectas tangentes los lados del ángulo. Evidentemente, esas rectas se cortan con un ángulo a.
-Caso 3:
Las rectas cortan a la circunferencia en 4 puntos. 2 en cada hemisferio.
Sean los puntos Q, P del primer hemisferio, y Q',P' los otros 2. Uniendo P y Q, y P',Q' obtenemos 2 cuerdas. Trazamos sus mediatrices, m, de la cuerda PQ; y m', de la cuerda P'Q'. Cortarán a la circunferencia en 2 puntos cada una. Por ser cuerdas de circunferencia, sus mediatrices pasan por el centro de la circunferencia, luego esos 4 puntos son puntos de tangencia.
*Sea B el punto que está en el arco PQ, y B' el que está en el arco P'Q'. Trazamos una perpendicular a m por B. Es una recta tangente por ser perpendicular a un radio, además, es paralela a un lado del ángulo previamente dibujado. Hacemos lo mismo por m'. Como son paralelas ambas tangentes a los lados del ángulo, se cortan formando un ángulo de igual amplitud.
Sea C el punto de corte de m que no está en el arco PQ, y sea C' el punto de corte de m' que no está en P'Q'. Trazamos por dichos puntos perpendiculares a m y m' respectivamente. Por el mismo motivo que antes, son rectas tangentes que se cortan con la amplitud pedida, a.


*Distancia conveniente. Siempre que el ángulo a sea menos que 180º, podemos encontrar un punto cerca de la circunferencia tal que, al representar los lados de a de tal forma que r sea bisectriz, dichos lados corten a la circunferencia en 4 puntos.
¿Os lo creéis? Eso espero, porque no soy capaz de demostrarlo 


Saludos.

[Michel]

Hay que darse cuenta de que el ángulo es dado, por lo que no puede tomarse arbitrariamente.

[elcristo]

Si si, tomo en cuenta que el ángulo es dado. Lo que no es dado es la posición del ángulo.

[teeteto]

3º)No veo el caso de que pueda cortar en 3 puntos :S

Ahora no, porque el diámetro prolongado es la bisectriz y hay simetría. Sin embargo, puedes trasladar el ángulo a de forma que su vértice esté sobre la prolongación del diámetro de "cualquier forma"; es decir, sin que necesariamente el diámetro sea bisectriz, y tu construcción sigue siendo válida. Lo único que sucede en ese caso es que, al trazar las paralelas a los lados por los puntos de tangencia, el corte entre ellas no está sobre el diámetro inicial. Pero eso es irrelevante. En esta situación sí puede haber 3 puntos de corte puesto que uno de los lados iniciales puede ya ser tangente (qué suerte) y el otro secante.

[Michel]

Hola. Quizás haya leído muy deprisa el procedimiento. de construcción.

De todas formas, huele un poco a tanteo, con caso 1, caso 2,...

Yo lo haría así: Tomo un punto cualquiera P de la prolongación del diámetro y construyo el ángulo dado de manera que esa recta sea su bisectriz. Por el centro O de la circunferencia trazo perpendiculares a los lados del ángulo, que cortan a la circunferencia en sendos puntos, que son los de tangencia.

Así sí puedo asegurar que el ángulo es el dado y no hay tanteo.

¿Qué os parece?

Esta vez me ahorro el dibujo.

[Michel]

Otra forma de hacerlo.
Es sabido que la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
Si O es el centro de la circunferenncia, A y B los puntos de tangencia y P el punto desde el que se trazan las tangentes, el cuadrilátero OAPB tiene rectos los ángulos en A y B, por lo que los ángulos O y P son suplementarios.
Entonces la construcción es ésta:
1. Con vértice en O, se construye el ángulo 180º-a, de forma que su bisectriz sea el diámetro.
2. Si los lados de ese ángulo son los racios OA y OB, las perpendiculares en A y B a los radios se cortan en el punto P, y el ánggulo en este punto valdrá a.
Saludos.

[elcristo]

Hola. Quizás haya leído muy deprisa el procedimiento. de construcción.

De todas formas, huele un poco a tanteo, con caso 1, caso 2,...

Yo lo haría así: Tomo un punto cualquiera P de la prolongación del diámetro y construyo el ángulo dado de manera que esa recta sea su bisectriz. Por el centro O de la circunferencia trazo perpendiculares a los lados del ángulo, que cortan a la circunferencia en sendos puntos, que son los de tangencia.

Así sí puedo asegurar que el ángulo es el dado y no hay tanteo.

¿Qué os parece?

Esta vez me ahorro el dibujo.

Sí, que cojones. Ese es mi método sólo que yo me lié como un imbécil y estaba obcecado en que los lados del ángulo tenían que cortar a la circunferencia, y no hace falta.