[Ialgra]

Hola, buenas tardes!
Estoy intentando resolver el siguiente problema: Demostrar que todos los coeficientes del desarrollo de\(  (a+b)^{63} \) son impares.
Por la forma que tiene el triángulo de Pascal, si demuestro que todos los coeficientes de \( (a+b)^{64} \) son pares, entonces los del 63 serán impares. Tanteando el problema me he dado cuenta que los coeficientes del desarrollo son todos pares cuando el exponente es una potencia de 2. De esto me he dado cuenta observando el triángulo. Como \( 64=2^6 \), deduzco que se cumplirá. Pero cuando intento demostrarlo a través de la fórmula de números combinatorios \( \displaystyle\binom{64}{k}=\displaystyle\frac{64!}{k!(64-k)!} \), me pierdo contando el número de doses que hay en el numerador y denominador, con lo cual no sé justificar por qué eso siempre va a ser un múltiplo de dos.
¿Alguien me da una idea para que pueda continuar?
Un saludo!

[Luis Fuentes]

Hola

 Estudia la paridad de \( \displaystyle\binom{n}{k} \) cuando \( n \) es par:

 Si  \( k \) es impar usa que:

\(  \displaystyle\binom{n}{k}=\dfrac{n}{k}\displaystyle\binom{n-1}{k-1} \)

 y concluye que obtienes un par.

 Si \( k \) es par prueba que la paridad de \( \displaystyle\binom{n}{k} \) es la misma que la de \( \displaystyle\binom{n/2}{k/2} \).

 Para ello ten en cuenta que:

\( \displaystyle\binom{n}{k}=\dfrac{n(n-1)\ldots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdot 3\ldots \cdot k}=\dfrac{(n-1)(n-3)\ldots (n-k+1}{1\cdot 3\cdot \ldots (k-1)}\dfrac{n(n-2)\ldots (n-k+2)}{2\cdot 4\cdot \ldots \cdot k}=\dfrac{(n-1)(n-3)\ldots (n-k+1)}{1\cdot 3\cdot \ldots (k-1)}\dfrac{
\frac{n}{2}(\frac{n}{2}-1)\ldots (\frac{n}{2}-\frac{k}{2}+1)}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot \frac{k}{2}} \)

 de donde:

\( 1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots\cdot (k-1)\displaystyle\binom{n}{k}=(n-1)(n-3)\ldots (n-k+1)\displaystyle\binom{n/2}{k/2} \)

Saludos.

[Ialgra]

Perfecto! Ya lo tengo claro, ya me ha salido. Muchas graciass