[HugoGB]

Hola estoy intentando hace una demostración pero no me sale. Me viene medio resuelta en el libro pero no termino de entender los pasos. Alguien me puede ayudar y dar la demostración. Gracias!

Dado que:

\( E[y- \beta_0 - \beta_1x ]=0 \)

\( E[(y- \beta_0 - \beta_1x)x ]=0 \)

Demostrar que:

\( \widehat{\beta}_1 = \dfrac{\sum_{i=1}^n{(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}}{\sum_{i=1}^n{(x_i-\overline{x})^2}} \)

Sabiendo que:

\( \sum_{i=1}^n{x_i(y_i-\overline{y})}=\sum_{i=1}^n{(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}} \)

\( \sum_{i=1}^n{x_i(x_i-\overline{x})}=\sum_{i=1}^n{(x_i-\overline{x})^2 \)

[Luis Fuentes]

Hola

 De las ecuaciones iniciales tienes:

\(  \beta_0+\beta_1E[x]=E[y] \)
\(  \beta_0E[x]+\beta_1E[x^2]=E[xy] \)

 De ahí hay que hallar \( \beta_1 \). Multiplicamos la primera ecuación por \( E[X] \), la restamos de la segunda y despejamos \( \beta_1 \):

\(  \beta_1=\dfrac{E[xy]-E[x]E[y]}{E[x^2]-E[x]^2} \)

Saludos.

[HugoGB]

Muchas gracias