[Michel]

Construir un trapecio conociendo el radio del círculo inscrito y los dos lados no paralelos.

[elcristo]

Voy a tirarme a la piscina, y a intentar resolverlo por el método que dices tu, empezar a suponer el problema resuelto, teniendo la circunferencia y los lados no paralelos, AB y CD.

Dibujamos la circunferencia inscrita (Que es tangente a todos los lados del trapecio) y en ella el lado AB. Desde los extremos de AB, trazamos 2 rectas tangentes a la circunferencia. Como es un lado no paralelo, esas 2 rectas deben contener a las bases, así que deben ser paralelas, llamemos T a un punto de tangencia de una de las bases, y G al otro. Desde T dibujamos una cicunferencia de radio CD. Esta circunferencia corta a la recta que contiene a la base opuesta en 2 puntos. Llamemoslos E y F. Entonces, ETG y FTG son 2 triángulos iguales, rectángulos y además, su hipotenusa va a ser paralela al lado que nos queda del trapecio. Solo queda trazar la perpendicular a ambas hipotenusas por el centro de la circunferencia inscrita y nos dará los puntos de tangencia del lado que nos queda (Hay 2 soluciones).

Si no entiendes muy bien lo que quiero decir, pongo dibujo. Y Si estoy argumentando de pena (la primera vez que intento este método) pues también me lo dices.

Saludos.

[Michel]

Hola elcristo. Creo que no has entendido eso de "supongamos el problema recuelto", por lo que voy a tratar de explicarlo.
Como suponemos el problema resuelto, se empieza construyendo, sin más, la figura pedida, que en este caso es el trapecio mondo y lirondo, con la circunferencia inscrita (creo que te darás cuenta de que se trata de un trapecio isósceles); esta construcción se hace "a mano", sin explicar cómo se ha hecho, porque, si supìéramos la explicación, ya estaría resuelto el problema.
Te adjunto la figura inicial.
En esta figura se intentará (trazando algo) obtener otra figura más sencilla que pueda construirse con los datos del problema, y a partir de ahí, observar y observar.

He aquí el primer paso: traza la altura AE del trapecio y obtendrás el triángulo rectángulo AED, que puede construirse, pues se conocen la hipotenusa AB (uno de los lados del trapecio) y un cateto AE, que es el doble del radio de la circunferencia inscrita (construcción elemental que no hay que explicar).
Sigue a partir de ahí pensando cómo obtendrías el centro de la circunferencia...

[elcristo]

Algún pequeño detalle.

No sólo los trapecios isósceles tienen circunferencia inscrita, así que ¿Por qué empiezas suponiendo eso? No dice que los dos lados no paralelos midan igual.



Trazar la altura AE del trapecio, entonces E pertenece a BC. El trángulo AED es recto, vale, pero AB NO es su hipotenusa. AB es la hipotenusa del triángulo ABE, que no tiene que ser igual a AED.

Después, tienes razón, no entiendo el método ni entiendo qué estás buscando ni para qué sirve buscar ahora el centro de la circunferencia.

Por último, mi construcción, obviando el pequeño detalle de que no es por el método de empezar el problema resuelto, ¿es una construcción válida?

Saludos.

[Michel]

Hola elcristo.

En efecto, se me han cruzado unos cuantos cables y se me ha ocurrido lo del trapecio isósceles; no necesariamente ha de ser isósceles nuestro trapecio. Pido perdón.

Para no hacerlo deprisa y exponerme a cualquier error, mañana trataré de resolverlo, pues ahora me encuentro un poco cansado. Y contestaré también a las otras preguntas que haces.

Saludos

[Michel]

Hola elcristo.
He estado pensando en el problema del trapecio, tratando de encontrar un método distinto del "supongamos"; el que te envío creo que lo entenderás, es muy sencillo.
Sean AB=m, CD=n y r el radio de la circunferencia inscrita.
Estos son los pasos a seguir:
1. Se dibuja la circunferencia de centro O y radio r.
2. Se traza un diámetro, por ejemplo PQ,
3.Se trazan las tangentes t y t' por P y Q, que son perpendiculares a PQ; sobre estas tangentes están las bases del trapecio.
4. Con centro en un punto cualquiera E de la tangente t', y radio m, trazamos un arco de circunferencia que corta a la otra tangente en F.
5. Se traza por O la perpendicular EF, que corta a la circunferencia en G.
6. Se traza la paralela por G a EF, que corta a las tangentes en A y B, dos vértices del trapecio.

Se procede de la misma forma con CD=n, para obtener los vértices C y D:se toma un punto cualquiera de t', ...

Espero que lo entiendas.

He hecho el dibujo de forma que si modificas los datos (están en la parte superior) se midifica la figura, que sigue siendo válida; los datos han de cumplir ciertas condiciones; te dejo la tarea de encontrar estas condiciones.

Más tarde te enviaré una construcción más sencilla de otro problema haciendo uso del "supongamos".

Un saludo.

[Michel]

Al intentar adjuntar el dibujo se organiza un lío de mensajes, como me ha ocurrido otras veces.

Entonces decido enviar otro mensaje con el mismo nombre.

Hola elcristo.
He estado pensando en el problema del trapecio, tratando de encontrar un método distinto del "supongamos"; el que te envío creo que lo entenderás, es muy sencillo.
Sean AB=m, CD=n y r el radio de la circunferencia inscrita.
Estos son los pasos a seguir:
1. Se dibuja la circunferencia de centro O y radio r.
2. Se traza un diámetro, por ejemplo PQ,
3.Se trazan las tangentes t y t' por P y Q, que son perpendiculares a PQ; sobre estas tangentes están las bases del trapecio.
4. Con centro en un punto cualquiera E de la tangente t', y radio m, trazamos un arco de circunferencia que corta a la otra tangente en F.
5. Se traza por O la perpendicular EF, que corta a la circunferencia en G.
6. Se traza la paralela por G a EF, que corta a las tangentes en A y B, dos vértices del trapecio.

Se procede de la misma forma con CD=n, para obtener los vértices C y D:se toma un punto cualquiera de t', ...

Espero que lo entiendas.

He hecho el dibujo de forma que si modificas los datos (están en la parte superior) se midifica la figura, que sigue siendo válida; los datos han de cumplir ciertas condiciones; te dejo la tarea de encontrar estas condiciones.

Más tarde te enviaré una construcción más sencilla de otro problema haciendo uso del "supongamos".

Un saludo.

[Michel]

Supongamos el problema resuelto, siendo ABCD el trapecio pedido.
A la vista de la figura, observamos que trazando la altura AE, se forma el triángulo rectángulo ABE, que puede construirse fácilmente por conocer la hipotenusa (uno de los lados dados) y el cateto AE, que es el doble del radio de la circunferencia inscrita.
Además, la bisectriz b de A y la mediatriz m de AE se cortan en O, que es el centro de la circunferencia.

Entonces empezamos la construcción:
1. Se construye el triángulo rectángulo ABE, con lo que ya tenemos dos vértices, A y B.
2. Por A y E trazamos perpendiculares a AE, sobre las cuales estarán las bases del trapecio.
3. Trazamos b y m, cuya intersección O nos da el centro de la circunferencia inscrita.
4. Se dibuja esta circunferencia.
5. Con centro en A y radio la longitud del otro lado conocido del trapecio, se determina el punto F.
6. Se traza por O la perpendicular a AF, que corta a la circunferencia en G.
7. La paralela a AF por G corta a las dos rectas de las bases en D y C, con lo que ya tenemos los cuatro vértices del trapecio pedido.

[elcristo]

Hola.

El primer método lo veo bien. Se parece muchísimo a la construcción que yo hice. Yo en vez de coger un punto aleatorio E tracé una circunferencia con un radio concreto, dándome directamente tu \( EF \) y \( HI \) a la vez, pero vamos, se basan exactamente en lo mismo.

En cuanto al segundo lo veo, pero me parece que es más complicado que el primero, pues encontrar que con ese triángulo va a salir, y que además necesitas saber que \( O \) está en la intersección de \( b \) y \( m \)...
Vamos, que eso yo no lo veo de primeras, aunque en la demostración sí que lo entiendo.

Saludos.