[numbsoul]

En la categoría \( Top \), la clase de funciones abiertas es estable por cambio de base.

Sean \( f:X\longrightarrow Z\;,g:Y\longrightarrow Z \), con \( f \) abierta, y sea \( (W,f':W\longrightarrow Y,g':W\longrightarrow X) \) su pullback (\( fg'=gf' \))

Debo probar que \( f' \) es abierta.

[Luis Fuentes]

Hola

 Pero:

\(  W=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\} \)

 y \( f',g' \) las proyecciones naturales. Siempres son abiertas, ¿no?.

Saludos.

[numbsoul]

Si \( U\subseteq W \) es abierto relativo a \( W \), entonces \( U=V\cap W \), con \( V \) abierto de \( X\times Y \). Podemos suponer que \( V \) es un abierto básico, es decir, \( V=V_{1}\times V_{2} \) (con lo cual \( U=(V_{1}\times V_{2})\cap W \))

Tenemos que \( f'(U)=p_{Y}((V_{1}\times V_{2})\cap W)=V_{2}\cap g^{-1}(f(X)) \). Como \( f \) es abierta, se tiene que \( f(X) \) es abierto y por continuidad \( g^{-1}(f(X)) \) es abierto. luego \( f'(U) \) es abierto.

[Luis Fuentes]

Hola

 ¡Ah, claro! Cualquier restricción de una aplicación abierta no es abierta. Había que razonar con más cuidado como has hecho, numbsoul.

Saludos.

[numbsoul]

Un pequeño error, donde puse \( f(X) \), debe ser \( f(V_{1}) \).