[lulu]

Hola! A ver si me podéis ayudar con este segundo ejercicio.

Ejercicio 2

Contesta razonadamente, a las siguientes cuestiones o afirmaciones (que pueden ser verdaderas o falsas):

(a) Pon un ejemplo, si es posible, de un endomorfismo de \( \mathbb{C}^3 \) que tenga dos autovalores y que no sea diagonalizable.

(b) Si el polinomio característico \( p(x) \) de un endomorfismo \( f \) verifica que \( p(0)\neq 0 \) entonces \( f \) es inyectivo.

(c) Dos matrices cuadradas \( 2\times 2 \) con el mismo polinomio mínimo y el mismo polinomio característico corresponden, necesariamente, al mismo endomorfismo respecto a bases distintas.

(d) Si \( f:R^3\longrightarrow R^3 \) es un endomorfismo cuyo polinomio mínimo es \( X(X +1) \), entonces \( f \) es la aplicación nula o es la aplicación \( -Id  \) o bien existen subespacios \( U \) y \( W \) de \( R^3 \) tales que \( f \) coincide con el opuesto de la proyección sobre \( U \) en la dirección de \( W \).
Construye un ejemplo concreto de un endomorfismo \( f:R^3\longrightarrow R^3 \) cuyo polinomio
mínimo sea \( X(X + 1) \).

En cuanto a este segundo ejercicio, en el apartado a, ¿me podéis dar un ejemplo de matriz? Y si es así, ¿como la construis?
Del apartado b, no entiendo cual es la relación entre que sea inyecivo y su polinomio característico.
Del apartado c diría que es verdadera, ahora justificarlo es otra cosa ya.
Y del apartado d no sé por donde tirar.

Si me pudierais ayudar, estaría muy agradecida.

Muchas gracias


en este segundo ejercicio, en el apartado b, donde pone el signo = y el igual tachado, yo quería escribir el igual tachado, pero no se que he escrito mal con el código latex jeje

[fontecelta]

Hola.

En el a) lo que tienes que buscar es una matriz en la que la dimensión geométrica del autovalor no coincida con la algebraica. A mí se me ocurrió esta:

A=\( \begin{bmatrix}{i}&{0}&{0}\\{1}&{i}&{0}\\{1}&{0}&{-i}\end{bmatrix} \)

Tiene dos autovalores y la dimensión geométrica de \( i \) no coincide con la algebraica.

Para el b), 0 no es autovalor de f. Tomamos un \( v\in{Ker(f)} \) y veamos que es el 0. Suponiendo que no lo es, tenemos que \( f(v)=0=0\cdot{v} \) pero entonces el 0 es autovalor, contradicción

[Luis Fuentes]

Hola

 lulu: Cuando uses LaTeX para las fórmulas, encierra la expresión matemática completa entre [tex]  [/tex] y no trozos asislados.

Spoiler

Mejor [tex]p(x)=(x-2)^2(x-1)[/tex] y obtienes  \( p(x)=(x-2)^2(x-1) \)

 Y no p(x)=[tex](x-2)^2[/tex](x-1), donde obtienes  p(x)=\( (x-2)^2 \)(x-1).

[cerrar]

 En cuanto al problema:

 (c) Si el polinomio característico tienes dos raíces distintas o una sola pero el minimal tiene grado uno entonces diagonalizan a la misma forma diagonal. Por tanto son matrices asociadas a un mismo endomorfismo.

 En otro caso hay una raíz doble con multiplicidad geométrica uno; ambas matrices son semejantes a una misma forma de Jordan y por tanto también están asociadas a un mismo endomorfismo.

 (d) Si el polinomio mínimo tiene todos los factores de grado uno, entonces el endomorfismo diagonaliza. En una determinada base su matriz asociada será:

\( \begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{-1}&{0}\\{0}&{0}&{-1}\end{pmatrix} \)

ó

\( \begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{-1}\end{pmatrix} \)

Corresponde a la matriz de una simetría respecto a un subespacio (el de autovectores asociados al uno) paralelamente a otro (autovectores asociados al menos uno).

Saludos.