Hola! A ver si me podéis ayudar con este ejercicio.
Ejercicio 1
Sea \( f \) un endomorfismo de \( \mathbb{C}^3 \) . Justificar cada una de las afirmaciones siguientes, en las que \( a \) y \( b \) representan números complejos, y \( \sqrt{-1} \) está representado por \( i \).
(a) Si \( a \) es un autovalor de\( f \) y \( dim V_a (f) = 3 \) entonces \( f \) es diagonalizable y \( p_f (X) =(x-A)^3 \).
(b) Si \( p_f (X) =(X-a )^2(X-b ) \) y \( dimV_a(f)=1 \) entonces \( f \) no es diagonalizable.
(c) Si \( p_f (X)=(X^2+1)(X-2) \), entonces \( f \) es diagonalizable.
(d) Si \( p_f (X)=(X-i)^2(X-2) \), no está garantizado que \( f \) sea diagonalizable.
De este ejercicio sobreentiendo que todas son verdaderas, porque como dice que justifique cada una de las siguientes afirmaciones... pero igual me equivoco. y bueno cuando pone pf deduzco que es el polinomio característico no?
Si fuera así, en la cuestión c diría que es cierto porque son todo factores lineales, es decir el polinomio mínimo tendrá exponente 1. Entonces en la d, no está garantizado que fuera diagonalizable porque el polinomio minimo podrá no ser un factor lineal, sino estar elevado a la 2, y ahí ya no ser diagonalizable. No sé si me explico o bueno tal vez lo esté diciendo mal. En cuanto a la a y la b no se como justificarlo.
