\( r = \sqrt[ ]{(\displaystyle\frac{-\sqrt[ ]{3}}{2})^2 + (\displaystyle\frac{3}{2})^2} = \sqrt[ ]{3} \)
\( tg\alpha = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3}{2}}{-\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}}\Longrightarrow{} \alpha = -\displaystyle\frac{\pi}{3} \)
Eso es lo que tienes ¿verdad?
Ahora haz esta prueba, calcula la tangente de \( -\displaystyle\frac{\pi}{3} \) y la de \( \displaystyle\frac{2\pi}{3} \).
Estos ángulos están por decirlo así "en la misma recta" cuando los dibujas sobre la circunferencia unidad (Donde se suelen dibujar los ángulos para representar el seno y el coseno). Como la tangente es el seno entre el coseno, siempre hay 2 ángulos con la misma tangente, al igual que hay 2 ángulos con el mismo seno y 2 ángulo con el mismo coseno. Por ejemplo, el coseno de 90 es igual al de 270, que es 0. O el seno de 0 es igual al de 180, que es 0 también. Y éstos ángulos tienen el seno igual pero en signo contrario y el coseno igual y en signo contrario. Por eso existen 2. No se si me he explicado bien. Luego ya tú debes discernir cuál de los 2 coger en función del número que te están dando. Como tienes que la parte imaginaria es positiva coges todos los ángulos que puedan estar en el primer y segundo cuadrante, y como la parte real es negativa, te quedas sólo con los del 2º cuadrante ¿Tienes algún ángulo ahí? Sí, \( \displaystyle\frac{2\pi}{3} \), luego ése es el ángulo que tienes que coger.
\( 2k\pi \) son todas las vueltas posibles a esa circunferencia para caer nuevamente en el mismo ángulo. No sé por qué está ahí no por qué aparece, pero supongo que será para no omitir soluciones, porque si no lo pones te estás olvidando por ejemplo del ángulo \( \displaystyle\frac{8\pi}{3} \), que también tiene la misma tangente, o de \( \displaystyle\frac{14\pi}{3} \), que también, etc.
