[Michel]

Construir un triángulo conociendo el lado BC y las alturas hb y ha

[mente oscura]

Construir un triángulo conociendo el lado BC y las alturas hb y ha

Hola.

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Un cordial saludo.

[elcristo]

No por nada, pero no has explicado el método y la construcción en geogebra es algo defectuosa :S

Se dibuja el segmento BC.
Por C trazar una circunferencia de radio hb.
Por B trazar las rectas tangentes a la circunferencia de centro C y radio hb.
Trazar una paralela a una altura ha del segmento BC.
En la intersección de las tangentes con la recta paralela estarán los puntos \( A_1, A_2 \)
Se forman 2 triángulos.

[mente oscura]

Hola.

Sí, es verdad que no he explicado nada, porque me parece evidente.

También creo que no es correcta tu exposición. Uno de los triángulos sí cumple la hipótesis, el otro no.

Un cordial saludo.

[Michel]

Hola elcristo.
Creo que hay algún error en tu construcción: si tomas C como centro de la circunferencia que trazas, el radio de ésta debe ser hc, que no conoces, pues los datos son hb, ha; entonces deberás tomar como centro B y trazar la circunferencia de radio hb.
Efectivamente hay dos soluciones, pero la segunda no es el triángulo A2BC, que no cumple las condiciones del enunciado; tendrás que trazar otra paralela a BC, a la distancia ha, pero en el otro semiplano; estas dos soluciones serán simétricas respecto de BC.

Saludos

[elcristo]

Ambos cumplen que las alturas son las del enunciado. No hay mas hipótesis.
Quizás me confundí al darles nombre en la construcción (Ahora que lo leo creo que llamé C en lo que el enunciado dice B) pero en esencia creo que está bien.


EDITO:

Modifico la construcción cambiando los nombres para que se vea bien.

"Se dibuja el segmento BC.
Por B trazar una circunferencia de radio hb.
Por C trazar las rectas tangentes a la circunferencia de centro B y radio hb.
Trazar una paralela a una altura ha del segmento BC.
En la intersección de las tangentes con la recta paralela estarán los puntos A_1, A_2
Se forman 2 triángulos."

Y bueno, como bien dices Michel, se forman también los simétricos, por lo que serían ya 4 triángulos.




Saludos.

[Michel]

Efectivamente tienes razón; cuando te contestaba no tenía delante la figura, así que no consideré la posibilidad del triángulo obtusángulo.
Te pido perdón.

Dice un proverbio chino: cuando metas la pata, sácala, no metas la otra.

Saludos.

[elcristo]

Efectivamente tienes razón; cuando te contestaba no tenía delante la figura, así que no consideré la posibilidad del triángulo obtusángulo.
Te pido perdón.

Dice un proverbio chino: cuando metas la pata, sácala, no metas la otra.

Saludos.

Pues ese proverbio me viene de fábulas. Creo que me lo tatuaré para no olvidarlo...

Y además, no tienes que pedirme perdón por nada. Fue fallo mío hacer mal la construcción, eso pudo inducir a bastante error.

[mente oscura]

Y bueno, como bien dices Michel, se forman también los simétricos, por lo que serían ya 4 triángulos.

Hola.

elcristo, sigo sin ver los cuatro triángulos (lo de las simetrías, de acuerdo).

No cumple, creo, la condiciones el que nombras: \( A_2BC \)

Un cordial saludo.

[elcristo]

Tu ves el rojo ¿Verdad? Ese es el que parece evidente. Y el simétrico también, no es más que llevar la paralela hacia abajo en vez de hacia arriba.

Pues bien, el azul también lo cumple.

Fíjate en el segmento que he llamado \( hb_1 \). Es un radio de la circunferencia, luego tiene la misma medida que hb. Y como está sobre el punto de tangencia es perpendicular a la recta que contiene el segmento \( CA_2 \) (que es un lado del triángulo). Por lo tanto es una altura. Y como pasa por el vértice B, es la altura del triángulo en B (hb).

Después fíjate en que he llamado \( ha_1 \). Es la distancia que hay entre la recta que contiene a BC, y la paralela que hemos creado a la distancia \( ha \) para calcular el otro triángulo, luego también mide lo mismo que \( ha \). Además es perpendicular, por lo tanto es otra altura, la que pasa por el vértice A de ese triángulo, luego también es ha.

Por lo tanto, el triángulo azul tiene por el vértice B una altura que mide hb y por el vértice A otra altura que mide ha, y ese es el enunciado del problema, luego es solución.