[MarciaM]

Hola,
Tengo el siguiente ejercicio y he logrado el primer y segundo apartado, pero no sé cómo hacer los otros dos, si alguien pudiese ayudarme se lo agradecería.

El ejercicio es el siguiente:

Consideramos el subgrupo \( M=((2,4,,-2,6),(0,3,6,12),(2,8,6,-10),(6,21,12,54)) \)

a) Encontrad una base de M.
b) Clasificar el cociente \( G=\mathbb{Z}^a/M \). (entiéndase Z como los enteros)
c) Si denotamos por \( \bar{e_1},\bar{e_2},\bar{e_3},\bar{e_4} \) las clases de la base canónica \( Z^4 \) del cociente de el apartado anterior, calcular el orden de los siguiente elementos: \( \bar{e_a},24\bar{e_4},2\bar{e_1}-\bar{e_3}+3\bar{e_4},\bar{e_1}+2\bar{e_2}-\bar{e_3}+4\bar{e_4},  \bar{e_1}  \)
d) Encontrad todos los subgrupos N de G tales que G/N tiene orden 10.


Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 b) Halla los factores invariantes de la matriz formada por los vectores de \( M \). Se trata de diagonalizar la matriz haciendo operaciones elementales fila y columna enteras. Llegarás a una forma diagonal con elementos en las misma no nulos \( d_1,d_2,d_3 \) tal que cada uno divide al siguiente (en concreto, si no me equivoqué en las cuentas \( 1,2,96 \)). Se deduce que el cociente es isomorfo a:

\( Z/1Z\times Z/2Z\times Z/96Z\times Z=Z_2\times Z_{96}\times Z \)

 c) Expresa cada elemento como combinación lineal de los elementos de la base de \( M \) que has calculado en \( a \). Si no puedes es que el elemento tiene orden infinito.

 En otro caso el orden del elemento es el mínimo común múltiplo de los denominadores de los coeficientes obtenidos anteriormente.

 Tienes todo esto bastante bien explicado aquí:

http://personales.unican.es/olazabaj/Docencia/T_Grupos/Apuntes/estructura1.pdf

Saludos.

[MarciaM]

Muchas gracias.

[MarciaM]

Puede ser que de 2,3,96 en lugar de 1,2,96. Alomejor me equivoco, pero lo he repetido muchas veces y no encuentro el error.

Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Puede ser que de 2,3,96 en lugar de 1,2,96. Alomejor me equivoco, pero lo he repetido muchas veces y no encuentro el error.

No puede ser \( 2,3,96 \). Los factores invariantes deben de cumplir que cada uno sea divisor del siguiente. Pero \( 2 \) no divide a \( 3 \).

Entonces si realmente llegas a una forma diagonal \( 2,3,96 \) podría seguir simplificando. Por el algoritmo de Euclides tenemos asegurados que siempre que tengamos dos números en la matriz, mediante operaciones enteras fila y columna podemos conseguir el máximo común divisor de ellos. En tu caso si tienes \( 2,3 \) podemos conseguir el \( mcd(2,3)=1 \).

Tu llegaste a:

\( \begin{bmatrix}{2}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{3}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{96}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}\end{bmatrix} \)

Sumamos la primera fila a la segunda y restamos la segunda columna a la primera. Te queda:

\( \begin{bmatrix}{2}&{0}&{0}&{0}\\{-1}&{3}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{96}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}\end{bmatrix} \)

Cambiamos las filas \( 1 \) y \( 2 \) y la segunda fila le sumamos la primera por dos:

\( \begin{bmatrix}{-1}&{3}&{0}&{0}\\{0}&{6}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{96}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}\end{bmatrix} \)

Le sumamos la primera columna multiplicada por tres a la segunda y cambiamos de signo la primera:

\( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{6}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{96}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}\end{bmatrix} \)

De todas formas así te daría \( 1,6,96 \). Yo lo he vuelto a revisar y me da \( 1,2,96 \)...

Saludos.

[MarciaM]

A vale muchas gracias, volveré a revisarlo entonces.

Gracias.