[Michel]

Dado un triángulo ABC, trazar una recta por uno de los vértices de manera que los dos triángulos que resultan tengan el mismo perímetro.

[mente oscura]

Dado un triángulo ABC, trazar una recta por uno de los vértices de manera que los dos triángulos que resultan tengan el mismo perímetro.

Hola.

Spoiler

Supongamos:

\( a>b>c \ / \ a=\overline{BC}, \ b=\overline{AC}, \ y \ c=\overline{AB} \)

1º) Sobre "a" trazamos, con compás, un corte la medida de otro de los lados (por ejemplo "b", resultaría igual con el otro), produciendo: "a-b".

2º) Con la anterior medida hallada, "a-b", prolongamos el lado "c", generando un punto "G", quedando un segmento: "c+(a-b)".

3º) Trazamos una recta desde el vértice "C" hasta el punto medio de \( \overline{AG} \), llamemosle "P" a este punto medio.

4º) \( \overline{AP}+\overline{AC}+\overline{PC}=\overline{PC}+\overline{BC}+\overline{BP} \)

DEMOSTRACIÓN:

A) Hallando un punto "P" sobre el lado "c", se tendrían dos segmentos: al primero lo llamaremos "x"( \( \overline{PA} \)) y , al segundo: "c-x" (\( \overline{PB}) \). Llamaremos "d" al segmento: \( \overline{CP} \). Se tendría que cumplir:

\( x+b+d=a+d+(c-x) \)

\( 2x=(a-b)+c \)

\( x=\dfrac{(a-b)+c}{2} \)

[cerrar]

Un cordial saludo.

[mente oscura]

Hola.

He intentado hacerlo en geogebra, pero estoy "muy verde".

Spoiler

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Uff.

Me ha "costado" .

[Michel]

Sean ABD y ADC los dos triángulos; ha de verificarse:

AB+BD+AD=AD+DC+AC   ===>   AB+BD=DC+AC   ===>   BD=AC+DC-AB   ===>

           ===>   BD=AC+(BC-BD)-AB   ===>   2BD=AC+BC-AB

Resulta  BD=(AC+BC-AB)/2, que es la distancia que hay que tomar a partir de B para obtener el punto D, por donde ha de pasar la recta pedida.

La construcción de esta distancia es inmediata, ya que se trata de hallar la mitad de un segmento que se obtiene sumando los lados AC y BC del triángulo dado y restando el tercero AB, construcción que es elemental y, por tanto, no es necesario explicar.

Saludos